解决这个矩阵的 Pythonic 方法

Question

我一直在思考这个问题，但我似乎无法解决这个问题。

我想用三个未知数 x、y、z 的方程求解矩阵，使它们都等于相同的数。

假设我的方程是：

x + 3 = A
y(2y - 2) = 2A
z(4z - 1) = A

所以我可以构造一个如下所示的矩阵：

[(X + 3) , 0      ,       0] [0]   [A]
[ 0      ,(2y - 2),       0] [y] = [2A]
[ 0 ,    ,       0, (4z -1)] [z]   [A]

我知道 numpy has a linear algebra 但那只是在已知答案 (A) 的情况下。

我的问题是，我是否必须构建一个循环来暴力破解 (A) 的答案，或者是否有更 pythonic 的方式来回答这些方程组？

Answer 1

您没有包含 3 个方程和 3 个未知数的系统。您有一个包含 3 个方程和 4 个未知数的系统：x、y、z 和 A。

这意味着你的答案将在 A 上参数化，因为你没有足够的方程来求解所有未知数。

解决一般问题system of polynomial equations can be done by the so-called Groebner basis approach, which is what sympy uses。以下是有关如何使用该库解决此问题或类似问题的片段：

from sympy.solvers.polysys import solve_poly_system
from sympy.abc import x, y, z, A

f1 = x + 3 - A
f2 = y * (2 * y - 2) - 2 * A
f3 = z * (4 * z - 1) - A

solve_poly_system([f1, f2, f3], x, y, z)
# Outputs:
# [(A - 3, -sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, -sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, -sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, -sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8)]

如您所见，结果需要固定A的值才能完全确定。

Answer 2

线性代数只能求解变量的倍数，不能求解幂（这就是为什么它被称为线性，即直线方程，Ax + By + Cz = 0 ).

对于这组方程你可以用二次方程式来求解：

x + 3 = a            =>       x = a - 3


y * (y - 1) = a      =>       y**2 - y - a = 0

                              y = (1 +/- (1 + 4*a) ** 0.5) / 2

                                = 0.5 +/- (0.25 + a) ** 0.5

                                (a >= -0.25  for real roots)


z * (4*z - 1) = a    =>       4 * z**2 - z - a = 0

                              z = (1 +/- (1 + 16*a) ** 0.5) / 8

                                = 0.125 +/- (0.015625 + 0.25*a) ** 0.5

                                (a >= -0.0625  for real roots)

然后

def solve(a):
    assert a >= -0.625, "No real solution"

    x = a - 3

    yoffs = (0.25 * a) ** 0.5
    ylo = 0.5 - yoffs
    yhi = 0.5 + yoffs

    zoffs = (0.015625 + 0.25 * a) ** 0.5
    zlo = 0.125 - zoffs
    zhi = 0.125 + zoffs

    return [
        (x, ylo, zlo),
        (x, ylo, zhi),
        (x, yhi, zlo),
        (x, yhi, zhi)
    ]

解决这个矩阵的 Pythonic 方法

Pythonic Way to Solve this Matrix

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numpy

matrix

linear-algebra