格雷码算法（32 位或更少）
Gray code algorithm (32 bit or less)
我最近遇到了格雷码，我一直在努力思考用于将格雷码转换回二进制（32 位或更少位）的高效算法。
num = num ^ (num >> 16);
num = num ^ (num >> 8);
num = num ^ (num >> 4);
num = num ^ (num >> 2);
num = num ^ (num >> 1);
这就是我所说的代码。下面是我的问题：
- 这和普通代码（右移 1 和 XOR 直到
mask == 0）有什么区别？
- 为什么专门使用 16、8、4、2、1 而不是任何其他小于 32 位的数字？
如果我们反过来做有什么区别：
num = num ^ (num >> 1);
num = num ^ (num >> 2);
num = num ^ (num >> 4);
num = num ^ (num >> 8);
num = num ^ (num >> 16);
我已经试过了，结果似乎是一样的。
例如，以位为单位（假设为 8）
h g^h f^g e^f d^e c^d b^c a^b
那么如果我们应用 x ^= x >> 1 会发生什么？我们得到这个
h g f^h e^g d^f c^e b^d a^c
这看起来就像我们开始的那样，就好像它是由 x ^ (x >> 2) 而不是 x ^ (x >> 1) 制作的一样，所以同样的想法只需要移位 2:
h g f e d^h c^g b^f a^e
看起来不错，现在很明显为什么 x ^= x >> 4 会完全恢复正常。对于更多位，相同的模式只会持续一段时间。
另一种看待这个问题的方法是暂时反转位，将 "to gray" 变成 x ⊗ 3，⊗ 在 GF(2k 中乘法)，奇数乘法在GF(2k)中是可逆的，3的乘法逆元是"all bits set"，可以发现如下：
- 从
y=3 开始，临时反转 i=1
- 通过与 3 异或来杀死
y 中的第一位（不是 lsb），设置相反的相应位
- 循环直到
y=1
所以第一步是 y=3, i=1、y=5, i=3、y=9, i=7 等，直到您设置 i 中的所有位，我们称之为最终 i inv.
然后我们有(x ⊗ 3) ⊗ inv = x ⊗ (3 ⊗ inv) = x ⊗ 1 = x
乘以"all bits set"意味着每一位最终都是它自己和所有低位的异或，你可以用
x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...
首先，所有位都与其相邻的位进行异或，然后是接下来的两个位（它们已经被异或在一起，所以这只需要一个步骤），然后是接下来的四位等。
再次反转这些位以获得您开始的内容。
但现在是有趣的东西。
为什么顺序不重要？
（是的，事实上你不仅可以颠倒步骤，还可以任意洗牌）
好的，将位取反，回到GF(2k)。另一种写每一行的方法是
x = x ⊗ 3
x = x ⊗ 5
x = x ⊗ 17
...
最终结果当然是 ((x ⊗ 3) ⊗ 5) ⊗ 17 = x ⊗ (3 ⊗ 5 ⊗ 17) = x ⊗ 127
GF(2k) 中的乘法非常好并且可以交换，所以它可以按任何顺序完成。
其他号码呢
当然可以，只要他们的产品是 inv。但是所有其他选择都会导致出现 annoying/many 个被乘数。例如，也许我们希望 9 是一个因子，那么剩下的就是 199，它可以分解为 9 ⊗ 63，等等，但是这会持续一段时间，直到你可能有 3、5、9、9、17， 65 这太糟糕了（请注意 9 ⊗ 9 ⊗ 65 = 1 反正如果有 8 位那么是的，只需将其踢出并返回到原始的 3、5、17）。不过可能。
我最近遇到了格雷码，我一直在努力思考用于将格雷码转换回二进制（32 位或更少位）的高效算法。
num = num ^ (num >> 16);
num = num ^ (num >> 8);
num = num ^ (num >> 4);
num = num ^ (num >> 2);
num = num ^ (num >> 1);
这就是我所说的代码。下面是我的问题：
- 这和普通代码（右移 1 和 XOR 直到
mask == 0）有什么区别？ - 为什么专门使用 16、8、4、2、1 而不是任何其他小于 32 位的数字？
如果我们反过来做有什么区别：
num = num ^ (num >> 1); num = num ^ (num >> 2); num = num ^ (num >> 4); num = num ^ (num >> 8); num = num ^ (num >> 16);我已经试过了，结果似乎是一样的。
例如，以位为单位（假设为 8）
h g^h f^g e^f d^e c^d b^c a^b
那么如果我们应用 x ^= x >> 1 会发生什么？我们得到这个
h g f^h e^g d^f c^e b^d a^c
这看起来就像我们开始的那样，就好像它是由 x ^ (x >> 2) 而不是 x ^ (x >> 1) 制作的一样，所以同样的想法只需要移位 2:
h g f e d^h c^g b^f a^e
看起来不错，现在很明显为什么 x ^= x >> 4 会完全恢复正常。对于更多位，相同的模式只会持续一段时间。
另一种看待这个问题的方法是暂时反转位，将 "to gray" 变成 x ⊗ 3，⊗ 在 GF(2k 中乘法)，奇数乘法在GF(2k)中是可逆的，3的乘法逆元是"all bits set"，可以发现如下：
- 从
y=3开始，临时反转i=1 - 通过与 3 异或来杀死
y中的第一位（不是 lsb），设置相反的相应位 - 循环直到
y=1
所以第一步是 y=3, i=1、y=5, i=3、y=9, i=7 等，直到您设置 i 中的所有位，我们称之为最终 i inv.
然后我们有(x ⊗ 3) ⊗ inv = x ⊗ (3 ⊗ inv) = x ⊗ 1 = x
乘以"all bits set"意味着每一位最终都是它自己和所有低位的异或，你可以用
x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...
首先，所有位都与其相邻的位进行异或，然后是接下来的两个位（它们已经被异或在一起，所以这只需要一个步骤），然后是接下来的四位等。
再次反转这些位以获得您开始的内容。
但现在是有趣的东西。
为什么顺序不重要？
（是的，事实上你不仅可以颠倒步骤，还可以任意洗牌）
好的，将位取反，回到GF(2k)。另一种写每一行的方法是
x = x ⊗ 3
x = x ⊗ 5
x = x ⊗ 17
...
最终结果当然是 ((x ⊗ 3) ⊗ 5) ⊗ 17 = x ⊗ (3 ⊗ 5 ⊗ 17) = x ⊗ 127
GF(2k) 中的乘法非常好并且可以交换，所以它可以按任何顺序完成。
其他号码呢
当然可以，只要他们的产品是 inv。但是所有其他选择都会导致出现 annoying/many 个被乘数。例如，也许我们希望 9 是一个因子，那么剩下的就是 199，它可以分解为 9 ⊗ 63，等等，但是这会持续一段时间，直到你可能有 3、5、9、9、17， 65 这太糟糕了（请注意 9 ⊗ 9 ⊗ 65 = 1 反正如果有 8 位那么是的，只需将其踢出并返回到原始的 3、5、17）。不过可能。