z3py：如何在 z3py 中表示整数或字符数组

Question

我是 z3py 和 SMT 的新手，我还没有找到关于 z3py 的好教程。

这是我的问题设置：

给定输入整数数组 I=[1,2,3,4,5]，输出整数数组 O=[1,2,4,5].

我想为运算符 Delete 推断 k，它删除数组中位置 k 处的元素，其中

Delete(I,O) =  (ForAll 0<=x<k, O[x] = I[x] ) and (ForAll k<=x<length(I)-1, O[x] = I[x+1]) is true

我应该使用 Array 或 IntVector，还是其他任何东西来表示 input/output 数组？

编辑：

我的代码如下：

from z3 import *

k=Int('k')
s=Solver()

x = Int('x')
y = Int('y')

s.add(k >= 0)
s.add(k < 4)    
s.add(x >= 0)
s.add(x < k)
s.add(y >= k)
s.add(y < 4)

I = Array('I',IntSort(),IntSort())
O = Array('O',IntSort(),IntSort())
Store(I, 0, 1)
Store(I, 1, 2)
Store(I, 2, 3)
Store(I, 3, 4)
Store(I, 4, 5)

Store(O, 0, 1)
Store(O, 1, 2)
Store(O, 2, 4)
Store(O, 3, 5)

s.add(And(ForAll(x,Select(O,x) == Select(I,x)),ForAll(y,Select(O,y) == Select(I,y+1))))
print s.check()
print s.model()

它returns

sat
[I = [2 -> 2, else -> 2],
 O = [2 -> 2, else -> 2],
 y = 1,
 k = 1,
 x = 0,
 elem!0 = 2,
 elem!1 = 2,
 k!4 = [2 -> 2, else -> 2]]

我不明白 I、O、elem!0、elem!1 和 k!4 的意思，这显然不是我所期望的。

Answer 1

免责声明：我以前几乎没有用过 Z3py，但我用过很多 Z3。

我感觉您对编码逻辑问题也有些陌生 - 是吗？你的问题中有几件（奇怪的）事情发生了。

您对 x 和 y 施加了约束，但实际上您从未使用它们 - 相反，您绑定了 不同的 x 和 y 在你的量化断言中。后两者可能具有相同的名称，但它们与您约束的 x 和 y 完全无关（因为每个 forall 都绑定了自己的变量，您也可以在两者中使用 x ).因此，您量化的 x 和 y 范围涵盖所有 Int，而您可能希望将它们限制在区间 [0..4) 内。为此使用 forall 中的蕴涵。
根据文档，Store(a, i, v) returns 与 [=26 相同的新数组 a' =]，除了 x[i] == v。也就是说，您需要调用 I = Store(I, 0, 1) 等，以便最终得到一个存储您想要的值的数组 I。
既然你不这样做，Z3可以自由选择满足你约束条件的模型。从输出中可以看出，I 的模型是 [2 -> 2, else -> 2]，表示 I[2] == 2，I[i] == 2 表示任何 i != 2。我不知道为什么 Z3 选择那个特定模型，但它（连同 O 的模型）满足您的要求。
你可以忽略elem!0、elem!1和k!4，它们是内部生成的符号。
这是您示例的简化版本，未验证:
```
x = Int('x')  
I = Array('O',IntSort(),IntSort())
O = Array('O',IntSort(),IntSort())

I = Store(I, 0, 1)
I = Store(I, 1, 2)

s.add(
  And(
    ForAll(x, Select(O,x) == Select(I,x)),
    ForAll(x, Select(O,x) == Select(I,x+1))))

print s.check() # UNSAT
```
之所以不能满足是因为I[0] == 1 && I[1] == 2，这与你的foralls矛盾。如果你用 0 实例化两个量化的 x，你会得到 O[0] == I[0] && O[0] == I[1] - 一个无法满足的约束，即 O 没有满足它的模型。

编辑（解决评论）：

如果您对原因感到困惑，请给出一个片段，例如

I = Array('O',IntSort(),IntSort())
I = Store(I, 0, 1)
I = Store(I, 1, 2)
# print(I)
s.check()
s.model()

Z3 报告 sat 和 returns 模型，其中 I = []，然后回想一下每个 Store(...) returns 代表存储操作的新 Z3 表达式，其中每个依次 returns 一个新数组（等于初始数组，对更新取模）。正如 print 所示，I 的最终值是表达式 Store(Store(I, 0, 1), 1, 2)。因此，让 I 本身成为空数组就足够了，即 I - 更新（Stores）将各自产生一个新数组（想想 I1 和 I2 在这种情况下），但由于它们是无名的，它们不会（或至少不必）出现在模型中。

如果您想在模型中明确查看数组的 "final" 值，您可以通过为最后一个 Store 创建的数组命名来实现此目的，例如

I = Array('I',IntSort(),IntSort())
I = Store(I, 0, 1)
I = Store(I, 1, 2)

II = Array('II',IntSort(),IntSort())
s.add(I == II)

s.check()
s.model() # includes II = [1 -> 2, 0 -> 1, else -> 3]

Answer 2

这是我问题的正确答案：

from z3 import *

x = Int('x')  
y = Int('y')
k = Int('k')

s = Solver()

I = Array('I',IntSort(),IntSort())
O = Array('O',IntSort(),IntSort())
I = Store(I, 0, 1)
I = Store(I, 1, 2)
I = Store(I, 2, 3)
I = Store(I, 3, 4)
I = Store(I, 4, 5)

O = Store(O, 0, 1)
O = Store(O, 1, 2)
O = Store(O, 2, 4)
O = Store(O, 3, 5)

s.add(k >= 0)
s.add(k < 4)
s.add(And(ForAll([x],Implies(And(x>=0,x<k),Select(O,x) == Select(I,x))),ForAll([y],Implies(And(y>=k,y<4),Select(O,y) == Select(I,y+1)))))
print s.check()
if s.check() == z3.sat:
    print s.model()

答案是

sat
[I = [2 -> 2, else -> 2],
 k = 2,
 O = [2 -> 2, else -> 2],
 k!17 = [2 -> 2, else -> 2]]

z3py：如何在 z3py 中表示整数或字符数组

z3py: how to represent an array of integers or characters in z3py

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