井字游戏的 DFA
DFA for a Tic Tac Toe Game
我想制作一个 C++ 程序，为 Tic Tac Toe 制作 DFA，只接受先手获胜。我有工作代码，它正在生成 DFA。我还有一个计算状态数的函数。我得到 2,203,642 个状态，但我不确定这是对还是错。谁能告诉我应该有多少个州？
我不确定我是否完全理解问题，但我可以根据我的理解回答。
我们需要做的第一件事是模拟 Tic Tac Toe 游戏。没有一种正确或错误的方法可以做到这一点。我提出以下模型：Tic-Tac-Toe 游戏是一个长度为 9 的字符串，由 0、1 和 2 组成。 0s 对应无人认领的位置，1s 对应玩家 1 认领的位置，2s 对应玩家 2 认领的位置。字符串内的位置对应于从左到右，然后从上到下的位置。玩家 1 赢得这场比赛：122010001；输掉这场比赛：100222110；而且这个游戏无效111222111.
所以我们正在寻找一个 DFA 来识别玩家 1 获胜的有效游戏。如果 (a) 至少有一名玩家未获胜，并且 (b) 两名玩家的步数相同或玩家 1 比玩家 2 多一步，则游戏有效。在任何这些情况下，玩家 1 获胜:
111SSSSSSSSS111SSSSSSSSS1111SS1SS1SSS1SS1SS1SSS1SS1SS11SSS1SSS1SS1S1S1SS
这里，S代表任意符号0, 1, 2。因此，这是制作 DFA 的一种方法：
编写一个 DFA，接受上面列表中 8 个正则表达式所描述的语言的联合。
从 1 复制 DFA，但玩家 2 获胜而不是玩家 1。现在，通过将状态从接受切换为不接受来否定 DFA，反之亦然。
通过考虑从步骤 1 和步骤 2 获得的 DFA 的交集来构建笛卡尔乘积机。此 DFA 现在可以识别“玩家 1 获胜而玩家 2 未获胜”。
现在构造一个新的DFA来识别走法数是否有效。我们将有 100 个状态：玩家 1 有 10 个移动计数，玩家 2 有 10 个移动计数。标记为接受对应于 #1 = #2 或 #1 = #2 + 1 的那些状态（应该有 20 个这样的状态）。
构造第 3 步和第 4 步中机器的笛卡尔积机器，使用交集来确定接受状态。由此产生的 DFA 准确识别玩家 1 获胜而玩家 2 失败的有效游戏。
注意：在每一步之后，您可以最小化生成的 DFA，以使笛卡尔积机器结构具有更少的状态。此外，您可以最小化步骤 5 中的机器，以获得接受该语言的尽可能小的 DFA。
可能不是很有帮助，但如果您编写一个程序来生成上面概述的 DFA，然后让该程序一路最小化 DFA，您应该会得到正确的答案。
我想制作一个 C++ 程序，为 Tic Tac Toe 制作 DFA，只接受先手获胜。我有工作代码，它正在生成 DFA。我还有一个计算状态数的函数。我得到 2,203,642 个状态，但我不确定这是对还是错。谁能告诉我应该有多少个州？
我不确定我是否完全理解问题，但我可以根据我的理解回答。
我们需要做的第一件事是模拟 Tic Tac Toe 游戏。没有一种正确或错误的方法可以做到这一点。我提出以下模型：Tic-Tac-Toe 游戏是一个长度为 9 的字符串，由 0、1 和 2 组成。 0s 对应无人认领的位置，1s 对应玩家 1 认领的位置，2s 对应玩家 2 认领的位置。字符串内的位置对应于从左到右，然后从上到下的位置。玩家 1 赢得这场比赛：122010001；输掉这场比赛：100222110；而且这个游戏无效111222111.
所以我们正在寻找一个 DFA 来识别玩家 1 获胜的有效游戏。如果 (a) 至少有一名玩家未获胜，并且 (b) 两名玩家的步数相同或玩家 1 比玩家 2 多一步，则游戏有效。在任何这些情况下，玩家 1 获胜:
111SSSSSSSSS111SSSSSSSSS1111SS1SS1SSS1SS1SS1SSS1SS1SS11SSS1SSS1SS1S1S1SS
这里，S代表任意符号0, 1, 2。因此，这是制作 DFA 的一种方法：
编写一个 DFA，接受上面列表中 8 个正则表达式所描述的语言的联合。
从 1 复制 DFA，但玩家 2 获胜而不是玩家 1。现在，通过将状态从接受切换为不接受来否定 DFA，反之亦然。
通过考虑从步骤 1 和步骤 2 获得的 DFA 的交集来构建笛卡尔乘积机。此 DFA 现在可以识别“玩家 1 获胜而玩家 2 未获胜”。
现在构造一个新的DFA来识别走法数是否有效。我们将有 100 个状态：玩家 1 有 10 个移动计数，玩家 2 有 10 个移动计数。标记为接受对应于 #1 = #2 或 #1 = #2 + 1 的那些状态（应该有 20 个这样的状态）。
构造第 3 步和第 4 步中机器的笛卡尔积机器，使用交集来确定接受状态。由此产生的 DFA 准确识别玩家 1 获胜而玩家 2 失败的有效游戏。
注意：在每一步之后，您可以最小化生成的 DFA，以使笛卡尔积机器结构具有更少的状态。此外，您可以最小化步骤 5 中的机器，以获得接受该语言的尽可能小的 DFA。
可能不是很有帮助，但如果您编写一个程序来生成上面概述的 DFA，然后让该程序一路最小化 DFA，您应该会得到正确的答案。