测试点是否位于 4D 中的 2D 拟合平面上

Question

假设我在 R^4 中有 3+ 个共面但不共线的点。为了找到它们都位于的二维平面（不是超平面），我使用了来自 MatlabCentral 的以下平面拟合算法：

function [n,V,p] = affine_fit(X)
    % Computes the plane that fits best (least square of the normal distance
    % to the plane) a set of sample points.
    % INPUTS:
    % X: a N by 3 matrix where each line is a sample point
    %OUTPUTS:
    %n : a unit (column) vector normal to the plane
    %V : a 3 by 2 matrix. The columns of V form an orthonormal basis of the plane
    %p : a point belonging to the plane
    %NB: this code actually works in any dimension (2,3,4,...)
    %Author: Adrien Leygue
    %Date: August 30 2013

    % the mean of the samples belongs to the plane
    p = mean(X,1);
    % The samples are reduced:
    R = bsxfun(@minus,X,p);
    % Computation of the principal directions of the samples cloud
    [V,D] = eig(R'*R);
    % Extract the output from the eigenvectors
    n = V(:,1);
    V = V(:,2:end);
end

我在比指定的维度更高的维度上使用了该算法，因此 X 是一个 4x4 矩阵，它在 4 个坐标维度上包含 4 个点。生成的输出是这样的。

[n,V,p] = affine_fit(X);

n = -0.0252
    -0.0112
     0.9151
    -0.4024

V = 0.9129   -0.3475    0.2126
    0.3216    0.2954   -0.8995
    0.1249    0.3532    0.1493
    0.2180    0.8168    0.3512

p = -0.9125    1.0526    0.2325   -0.0621

我现在想做的是找出我选择的其他点是否也是平面的一部分。鉴于上述信息，我确信这相当容易，但此时我只知道我需要两个线性方程来描述 4D 中的 2D 平面或两个变量的参数方程。我可以在理论上设置它们，但是编写代码一直存在问题。也许有更直接的方法可以在 matlab 中对此进行测试？

Answer 1

您可以使用 Matlab 函数 pca (see for example here)。例如，您可以确定平面的基础、平面的法向量和平面上的点 m，如下所示：

coeff = pca(X);
basis = coeff(:,1:2);
normals = coeff(:,3:4);
m = mean(X);

要检查点 p 是否位于该平面内，只需验证 m-p 与法向量正交（点积等于零）平面使用 dot.

测试点是否位于 4D 中的 2D 拟合平面上

Test if points lie on a 2D fitted plane in 4D

matlab

geometry

vector

linear-algebra