计算给定侧的法线

Question

给定的是一条线（线段），由两个向量 start(x,y) 和 end(x,y) 定义。我还有一个点 p(x,y)，它位于由线分隔的两个区域中的任何一个（即 而不是 正好在线上）。

如何计算朝向 p 所在一侧的线的法线？

Answer 1

我的数学能力有点生疏，所以我不能给你准确的计算，但你做的是这样的（假设你的描述是二维的）：

首先你计算一个正常的n。
然后计算 P'，它是点 P 到直线的垂直投影。基本上，你要做的是，你 "create" 另一条线，并使用步骤 1 中的向量 n 作为方向（y = p + x * n 其中 y、p 和 n 是向量，p 实际上是你的 p(x,y ) 和 x 是一个实数), 然后你把这条线和第一条线相交, 它们相交的点是 P'.
看到你是奥地利人，请大家原谅我用了一个德语单词，我真的不知道英文翻译，也找不到。 P' = Lotfußpunkt
计算 P - P'。如果它在两个分量中都具有与 n 相同的符号，则 n 就是您要搜索的法线。如果它有相反的符号，-n 就是您要搜索的那个。

虽然我不知道所有的英文技术术语，但我希望思路清晰。

Answer 2

为了开始 = (a,b) 结束 = (c,d) p = (x,y)

坡度（起点终点）= (d - b) / (c - a)

斜率(范数) = -(c - a) / (d - b)

范数线必须包含 p = (x,y)，所以

ynorm = -((c - a) / (d - b)) * xnorm + (y + ((c - a) / (d - b)) * x)

Answer 3

设：

A = (a,b) and B = (c,d) define the line segment
P = (p,q) be the other point.

定义：

dot( (p,q), (r,s) ) == p*r + q*s

然后向量：

v = ( c-a, d-b)

定义沿线段的方向。它的垂线是：

u = (d-b, (-(c-a)) = (d-b,a-c)

这个可以用v做点积看出来。要从垂线得到法线，只需除以它的长度：

n = u /|u|, |u| = sqrt( dot(u,u))

我们现在只需要知道 P 相对于法线的位置。如果我们采取：

dir = dot( (P-A), n) )

则dir > 0表示n与P方向相同，而dir < 0表示方向相反。应该dir == 0，那么P其实是在延长线上（不一定是线段本身）。

Answer 4

首先，通过取 end-start 和 p-end 的叉积：

来确定点位于直线的哪一侧

z = (x_end-x_start)(y_p-y_end) - (y_end-y_start)(x_p-x_end)

如果 z>0，则该点位于线的左侧（如站在 start 并面向 end[=65 的人所见=]).如果 z<0，则该点位于线的右侧。

二、归一化线段：

S = 结束 - 开始
k = S/|S|

最后，如果点在直线的左边，则向左旋转k：

(x_k, y_k) => (-y_k, x _k)

或者如果点在直线的右侧，则向右旋转k：

(x_k, y_k) => (y_k, -x _k)

Answer 5

y = mx + c

是法线方程，其中 m 是斜率，c 是任意常数。

你有开始和结束。让我们称它们为 (x1,y1) 和 (x2,y2) 以及连接它们的线 L1。这条线的斜率 m1 是 (y2-y1)/(x2-x1)。这条线垂直于您需要的线，我们可以将其称为斜率为 m2 的 L2。 2条互垂线的斜率乘积为-1。因此， m1*m2=-1。

因此你可以计算m2。现在，您需要找到直线 L2 的方程。直线 P (x,y) 中有 1 个点。您可以用这种方式替换： y=m2*x+c。

这会给你c。有了线方程后，您可以将其转换为参数形式，如下所示：

http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/lines/index.html

Answer 6

直线方程给出为

A = start.y-end.y
B = end.x-start.x
C = start.x*end.y-start.y*end.x

A*x + B*y + C = 0

点p=(px,py)到直线的最小距离d是

d = (A*px+B*py+C)/sqrt(A^2+B^2)

如果值为正，则该点位于矢量 (start->end) 的逆时针方向。如果为负则顺时针旋转。因此，如果 (start->end) 指向上方，则线的左侧为正距离。

例子

start = (8.04, -0.18)
end = (6.58, 1.72)
P = (2.82, 0.66)
A = (-0.18)-(1.72) = -1.9
B = (6.58)-(8.04) = -1.46
C = (8.04)*(1.72)-(-0.18)*(6.58) = 15.01
d = (A*(2.82)+B*(0.66)+C)/√(A^2+B^2) = 3.63

d 的计算显示与草图中向量 (near->P) 的长度相同的值。

Answer 7

N = (Ey - Sy, Sx - Ex)垂直于直线（SE旋转90°，未归一化）。

然后计算点积的符号

N . SP = (Ey - Sy)(Px - Sx) + (Sx - Ex)(Py - Sy),

它会告诉你法线指向哪一侧。

计算给定侧的法线

Calculating normal to line towards given side

algorithm

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geometry