特征矩阵与其转置相乘的自协方差矩阵的对称性

Question

有一个数学定理指出，矩阵 A 与其转置相乘会产生对称的正定矩阵（从而导致正特征值）。为什么对称性测试在这里对中等大小的随机矩阵失败？它总是适用于小矩阵（20,20 等）

import numpy as np
features = np.random.random((50,70))
autocovar = np.dot(np.transpose(features),features)
print((np.transpose(autocovar) == autocovar).all())

我总是得到 'FALSE' 运行这个代码。我做错了什么？我需要自协方差矩阵来执行 PCA，但到目前为止我得到了复杂的特征值...

谢谢！

Answer 1

这可能是由于浮点运算错误。您的矩阵在数值上可能非常接近对称矩阵，但由于有限精度算法的错误，它在技术上是非对称的。因此，数值求解器可能 return 复杂的特征值。

一种解决方案（有点像 hack）是使矩阵对称，即用 symmetric part 替换它。这个矩阵保证是对称的，即使在浮点运算中，它也会非常接近你定义的矩阵（接近机器精度）。这可以通过

实现

autocovar_sym = .5*(autocovar+autocovar.T)

希望对您有所帮助。

特征矩阵与其转置相乘的自协方差矩阵的对称性

Symmetry of autocovariance matrix by multiplying feature matrix with its transpose

pca

transpose

symmetry