给定旋转的旋转矩阵是否唯一？

Question

我找到了两个旋转矩阵

rot1 = [    0.8736    0.2915   -0.3897;
           -0.4011    0.8848   -0.2373;
            0.2756    0.3636    0.8898]

rot2 = [    0.9874   -0.1420   -0.0700;
            0.0700    0.7880   -0.6117;
            0.1420    0.5991    0.7880]

向量相乘时

wpt = [200 200 200]

产生相同的结果

cpt = [155.0812 49.2660 305.8148]

谁能解释一下？

Answer 1

非唯一性意味着等式 rot1 * v = rot2 * v 适用于每个向量 v。参见 this other answer

Answer 2

你实际上是在问两个问题。

旋转矩阵是否唯一？

是的，Francesco 引用的 this answer 解释得很好。如果它们不是唯一的，则 Qv = Rv 因此 (Q-R)*v = 0 对任何向量都是正确的。然而，后者仅适用于空矩阵。

这可能会帮助您查看两个旋转的 angle-axis 表示，看看它们是否不相同（格式为 x、y、z 和角度）：

>> vrrotmat2vec(rot1)

    0.5304   -0.5873   -0.6114    0.6022

>> vrrotmat2vec(rot2)

    0.9707   -0.1700    0.1700    0.6734

或者，您可以查看旋转矩阵的每一行，它们代表旋转后的 spaces 的单位向量，并查看它们彼此不同。（source，属性 3 和 4）

为什么这两个旋转矩阵对该向量给出相同的结果？

因为一个点可以通过无限多次旋转映射到另一个点。对于围绕同一个中心的任何两次旋转，一些点*最终会移动到同一个地方。如果愿意，rot1 和 rot2 将您的点 wpt 沿 3D 中的不同旋转弧移动到 cpt space。

由于此图在 2D 中确实没有帮助，而且您似乎可以访问 MATLAB，因此您可以自己生成图形并使用以下代码在其周围平移：

vr1 = vrrotmat2vec(rot1);
vr2 = vrrotmat2vec(rot2);
v = [1;1;1];
arc1 = [];
arc2 = [];
for i = 1:50
    a = vrrotvec2mat([vr1(1:3) i*vr1(4)/50]);
    arc1 = [arc1; (a*v)'];
    a = vrrotvec2mat([vr2(1:3) i*vr2(4)/50]);
    arc2 = [arc2; (a*v)'];
end

%% Drawing
% Arcs
plot3(arc1(:,1), arc1(:,2), arc1(:,3))
hold on
plot3(arc2(:,1), arc2(:,2), arc2(:,3))

% Unit vectors
arrow([0 0 0], [1 0 0]);
arrow([0 0 0], [0 1 0]);
arrow([0 0 0], [0 0 1]);

% Rotation axes
arrow([0 0 0], vr1(1:3), 'EdgeColor','b','FaceColor','g');
arrow([0 0 0], vr2(1:3), 'EdgeColor','r','FaceColor','g');

axis square

* 我猜这些点恰好位于两条线上，但我无法支持。

给定旋转的旋转矩阵是否唯一？

Is the rotation matrix unique for a given rotation?

rotation

computer-vision

rotational-matrices

旋转矩阵是否唯一？

为什么这两个旋转矩阵对该向量给出相同的结果？