求解未知数多于方程的方程

Question

我正在尝试找出几个方程的未知数，但未知数比方程数多。代码是这样的：

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 

eqn1 = 0.04*x1 + 0.04*x2 + 0.2*x3 + 0.2*x4 + 2*x5 + 0.2*x6 + 0.2*x7 + 0.04*x8 + 0.04*x9 == 111;
eqn2 = 0.04*x2 + 0.04*x3 + 0.2*x4 + 0.2*x5 + 2*x6 + 0.2*x7 + 0.2*x8 + 0.04*x9 + 0.04*x10 == 73;
eqn3 = 0.04*x3 + 0.04*x4 + 0.2*x5 + 0.2*x6 + 2*x7 + 0.2*x8 + 0.2*x9 + 0.04*x10 + 0.04*x11 == 40;  
eqn4 = 0.04*x4 + 0.04*x5 + 0.2*x6 + 0.2*x7 + 2*x8 + 0.2*x9 + 0.2*x10 + 0.04*x11 + 0.04*x12 == 14;
eqn5 = 0.04*x5 + 0.04*x6 + 0.2*x7 + 0.2*x8 + 2*x9 + 0.2*x10 + 0.2*x11 + 0.04*x12 + 0.04*x13 == 0;
eqn6 = 0.04*x6 + 0.04*x7 + 0.2*x8 + 0.2*x9 + 2*x10 + 0.2*11 + 0.2*x12 + 0.04*x13 + 0.04*x14 == 191;
eqn7 = 0.04*x7 + 0.04*x8 + 0.2*x9 + 0.2*x10 + 2*x11 + 0.2*x12 + 0.2*x13 + 0.04*x14 + 0.04*x15 == 153;
eqn8 = 0.04*x8 + 0.04*x9 + 0.2*x10 + 0.2*x11 + 2*x12 + 0.2*x13 + 0.2*x14 + 0.04*x15 + 0.04*x16 == 362;
eqn9 = 0.04*x9 + 0.04*x10 + 0.2*x11 + 0.2*x12 + 2*x13 + 0.2*x14 + 0.2*x15 + 0.04*x16 + 0.04*x17 == 471;

[A,B] = equationsToMatrix([eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, 5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9], [x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17])

X = linsolve(A,B)

但是，我收到错误消息：

Warning: The system is inconsistent. Solution does not exist. 
In symengine (line 57)
In sym/privBinaryOp (line 903)
In sym/linsolve (line 63)
In solveLinEqn (line 15)
X =

 Inf
 Inf
 .
 .
 .
 Inf

这是否意味着未知数有无数种解法？还有其他方法可以帮助解决这个问题吗？谢谢！

Answer 1

任何未知数多于方程的系统都会产生一个具有 (# unknowns - # equation) 个自由变量的欠定系统。

例如 1 个方程和 2 个未知数意味着有 1 个自由变量

y = 5x - 2

Answer 2

如果你在调用 linSolve(A,B) 之前看一下 A 矩阵，你会发现它有一个零行：

[    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,    0,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25,    0]
[    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0,    0, 1/25, 1/25,  1/5,  1/5,    2,  1/5,  1/5, 1/25, 1/25]

那是什么意思？
在我们深入研究欠定系统之前，让我们先回顾一下求解一组线性方程需要做什么。线性系统 Ax = b 的精确解需要 A 矩阵正方形，即相同的行数和列数，并且是可逆的。解决这样的系统需要 x = A-1 * b 这是任何数值软件都可以做到的轻松紧缩。

鉴于您的系统未确定，即更多的未知数，它会生成一个矩阵，其中 A 中的列数大于行数，因此我们只能近似解决这种系统。欠定系统有无限多个解，所以让 x' 是系统 Ax' = b 现在得出 x' = ATw 对于某些向量 w。那么我们可以将系统的解表示为

AA<sup>T</sup>w = b => w = (AA<sup>T</sup>)<sup>-1</sup>b
x' = A<sup>T</sup>w

AAT 被称为格拉姆矩阵，如上所示，它必须是可逆的为了让系统有一个解决方案。由于您的 A 矩阵有一行零，因此格拉姆矩阵 AAT 也有一行零，因此它是单数的（不可逆）：

[ 2604/625,  562/625,  109/125,   32/125, 0,    4/125,   11/625,    2/625,    1/625]
[  562/625, 2604/625,  562/625,  109/125, 0,   27/125,    4/125,   11/625,    2/625]
[  109/125,  562/625, 2604/625,  562/625, 0,   31/125,   27/125,    4/125,   11/625]
[   32/125,  109/125,  562/625, 2604/625, 0,  108/125,   32/125,   27/125,    4/125]
[        0,        0,        0,        0, 0,        0,        0,        0,        0]
[    4/125,   27/125,   31/125,  108/125, 0, 2579/625,  312/625,  104/125,   27/125]
[   11/625,    4/125,   27/125,   32/125, 0,  312/625, 2604/625,  562/625,  109/125]
[    2/625,   11/625,    4/125,   27/125, 0,  104/125,  562/625, 2604/625,  562/625]
[    1/625,    2/625,   11/625,    4/125, 0,   27/125,  109/125,  562/625, 2604/625]

TL;DR; 你的格拉姆矩阵是不可逆的，因此系统没有解决方案（aka 作为一个不一致的系统），那就是为什么您会收到不一致的系统错误消息。
参考文献：
http://www.math.usm.edu/lambers/mat419/

求解未知数多于方程的方程

Solving equations with more unknowns than equations

matlab

equation-solving