Python -- 优化不等式系统
Python -- Optimize system of inequalities
我正在研究 Python 中的一个程序，其中一小部分涉及优化方程组/不等式。理想情况下，我会想像在 Modelica 中那样做，写出方程并让求解器处理它。
解算器和线性规划的操作有点超出我的舒适范围，但我还是决定尝试一下。问题是程序的一般设计是面向对象的，并且有许多不同的组合可能性来构成方程，以及一些非线性，所以我无法将其转化为线性规划问题（但我可能是错的）。
经过一番研究，我发现 Z3 求解器似乎可以满足我的要求。我想到了这个（这看起来像是我想要优化的典型案例）：
from z3 import *
a = Real('a')
b = Real('b')
c = Real('c')
d = Real('d')
e = Real('e')
g = Real('g')
f = Real('f')
cost = Real('cost')
opt = Optimize()
opt.add(a + b - 350 == 0)
opt.add(a - g == 0)
opt.add(c - 400 == 0)
opt.add(b - d * 0.45 == 0)
opt.add(c - f - e - d == 0)
opt.add(d <= 250)
opt.add(e <= 250)
opt.add(cost == If(f > 0, f * 50, f * 0.4) + e * 40 + d * 20 +
If(g > 0, g * 50, g * 0.54))
h = opt.minimize(cost)
opt.check()
opt.lower(h)
opt.model()
现在这可行了，并给了我想要的结果，尽管它不是非常快（我需要解决这样的系统数千次）。
但我不确定我是否使用了正确的工具来完成这项工作（Z3 是 "theorem prover"）。
API 基本上正是我所需要的，但我很好奇其他包是否允许类似的语法。或者我应该尝试以不同的方式提出问题以允许标准的 LP 方法吗？ （虽然我不知道怎么做）
Z3 是我为此类灵活的方程组找到的最强大的求解器。 Z3 是一个很好的选择，因为它是在 MIT 许可证下发布的。
有许多不同类型的工具具有重叠的用例。您提到了线性规划——还有定理证明器、SMT 求解器和许多其他类型的工具。尽管将自己作为定理证明者进行营销，但 Z3 通常作为 SMT 求解器进行营销。目前，SMT 求解器在布尔、实数和整数耦合代数方程和不等式的灵活和自动化解决方案方面处于领先地位，在 SMT 求解器的世界中，Z3 是王者。看看 the results of the last SMT comp if you want evidence of this. 也就是说，如果您的方程都是线性的，那么您可能还会发现 CVC4 的性能更好。货比三家也没什么坏处。
如果您的方程式具有非常可控的形式（例如，最小化受某些约束影响的某些函数），那么您可能能够使用 GSL 或 NAG 等数值库获得更好的性能。但是，如果您真的需要灵活性，那么我怀疑您会找到比 Z3 更好的工具。
最好的解决方案可能是使用 ILP 求解器。您的问题可以表述为整数线性规划 (ILP) 实例。有许多 ILP 求解器，有些可能比 Z3 性能更好。对于只有 7 个变量，任何像样的 ILP 求解器都应该非常迅速地找到解决方案。
唯一棘手的一点是条件表达式 (If(...))。但是，由于 ，可以使用变量拆分来处理条件。例如，引入变量 fplus 和 fminus，以及约束 f = fplus - fminus 和 fplus >= 0 以及 fminus >= 0。现在您可以将 If(f > 0, f * 50, f * 0.4) 替换为 50 * fplus - 0.4 * fminus。在这种情况下，这将是等效的。
变量拆分并不总是有效。您必须考虑它是否会引入虚假解决方案（其中 fplus > 0 和 fminus > 0）。但是，在这种情况下，伪解永远不会是最优的——可以证明最优解永远不会是最优的。因此，变量拆分在这里工作得很好。
如果您有条件语句但变量拆分不起作用的情况，您通常可以使用 https://cs.stackexchange.com/q/12102/755 中的技术将问题表述为 ILP 的一个实例。
我正在研究 Python 中的一个程序，其中一小部分涉及优化方程组/不等式。理想情况下，我会想像在 Modelica 中那样做，写出方程并让求解器处理它。
解算器和线性规划的操作有点超出我的舒适范围，但我还是决定尝试一下。问题是程序的一般设计是面向对象的，并且有许多不同的组合可能性来构成方程，以及一些非线性，所以我无法将其转化为线性规划问题（但我可能是错的）。
经过一番研究，我发现 Z3 求解器似乎可以满足我的要求。我想到了这个（这看起来像是我想要优化的典型案例）：
from z3 import *
a = Real('a')
b = Real('b')
c = Real('c')
d = Real('d')
e = Real('e')
g = Real('g')
f = Real('f')
cost = Real('cost')
opt = Optimize()
opt.add(a + b - 350 == 0)
opt.add(a - g == 0)
opt.add(c - 400 == 0)
opt.add(b - d * 0.45 == 0)
opt.add(c - f - e - d == 0)
opt.add(d <= 250)
opt.add(e <= 250)
opt.add(cost == If(f > 0, f * 50, f * 0.4) + e * 40 + d * 20 +
If(g > 0, g * 50, g * 0.54))
h = opt.minimize(cost)
opt.check()
opt.lower(h)
opt.model()
现在这可行了，并给了我想要的结果，尽管它不是非常快（我需要解决这样的系统数千次）。 但我不确定我是否使用了正确的工具来完成这项工作（Z3 是 "theorem prover"）。
API 基本上正是我所需要的，但我很好奇其他包是否允许类似的语法。或者我应该尝试以不同的方式提出问题以允许标准的 LP 方法吗？ （虽然我不知道怎么做）
Z3 是我为此类灵活的方程组找到的最强大的求解器。 Z3 是一个很好的选择，因为它是在 MIT 许可证下发布的。
有许多不同类型的工具具有重叠的用例。您提到了线性规划——还有定理证明器、SMT 求解器和许多其他类型的工具。尽管将自己作为定理证明者进行营销，但 Z3 通常作为 SMT 求解器进行营销。目前，SMT 求解器在布尔、实数和整数耦合代数方程和不等式的灵活和自动化解决方案方面处于领先地位，在 SMT 求解器的世界中，Z3 是王者。看看 the results of the last SMT comp if you want evidence of this. 也就是说，如果您的方程都是线性的，那么您可能还会发现 CVC4 的性能更好。货比三家也没什么坏处。
如果您的方程式具有非常可控的形式（例如，最小化受某些约束影响的某些函数），那么您可能能够使用 GSL 或 NAG 等数值库获得更好的性能。但是，如果您真的需要灵活性，那么我怀疑您会找到比 Z3 更好的工具。
最好的解决方案可能是使用 ILP 求解器。您的问题可以表述为整数线性规划 (ILP) 实例。有许多 ILP 求解器，有些可能比 Z3 性能更好。对于只有 7 个变量，任何像样的 ILP 求解器都应该非常迅速地找到解决方案。
唯一棘手的一点是条件表达式 (If(...))。但是，由于 fplus 和 fminus，以及约束 f = fplus - fminus 和 fplus >= 0 以及 fminus >= 0。现在您可以将 If(f > 0, f * 50, f * 0.4) 替换为 50 * fplus - 0.4 * fminus。在这种情况下，这将是等效的。
变量拆分并不总是有效。您必须考虑它是否会引入虚假解决方案（其中 fplus > 0 和 fminus > 0）。但是，在这种情况下，伪解永远不会是最优的——可以证明最优解永远不会是最优的。因此，变量拆分在这里工作得很好。
如果您有条件语句但变量拆分不起作用的情况，您通常可以使用 https://cs.stackexchange.com/q/12102/755 中的技术将问题表述为 ILP 的一个实例。