softmax函数解释的导数

Question

我正在尝试计算 softmax 激活函数的导数。我发现这个：https://math.stackexchange.com/questions/945871/derivative-of-softmax-loss-function 似乎没有人给出正确的推导来说明我们如何得到 i=j 和 i!= j 的答案。有人可以解释一下吗！当 softmax 激活函数的分母涉及求和时，我对导数感到困惑。

Answer 1

一个和的导数是导数之和，即：

    d(f1 + f2 + f3 + f4)/dx = df1/dx + df2/dx + df3/dx + df4/dx

要推导 p_j 关于 o_i 的导数，我们从：

开始

    d_i(p_j) = d_i(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))

我决定使用 d_i 作为 o_i 的导数，以使其更易于阅读。使用产品规则我们得到：

     d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) + exp(o_j) * d_i(1/Sum_k(exp(o_k)))

看第一项，导数将是 0 如果 i != j，这可以用 delta function 表示，我称之为 D_ij。这给出（第一项）：

    = D_ij * exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))

这只是我们的原始函数乘以 D_ij

    = D_ij * p_j

对于第二项，当我们单独导出和的每个元素时，唯一的非零项将是 i = k，这给了我们（不要忘记幂规则，因为和在分母）

    = -exp(o_j) * Sum_k(d_i(exp(o_k)) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -exp(o_j) * exp(o_i) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))) * (exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))
    = -p_j * p_i

将两者放在一起我们得到了一个非常简单的公式：

    D_ij * p_j - p_j * p_i

如果您确实需要，我们可以将其分为 i = j 和 i != j 两种情况：

    i = j: D_ii * p_i - p_i * p_i = p_i - p_i * p_i = p_i * (1 - p_i)

    i != j: D_ij * p_i - p_i * p_j = -p_i * p_j

这是我们的答案。

Answer 2

关于它的价值，这是我基于 SirGuy 回答的推导：（如果您发现任何错误，请随时指出）。

softmax函数解释的导数

Derivative of a softmax function explanation

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softmax