我的 GMRES 实施有什么问题？

Question

我正在尝试在 Jupyter Notebook 中实现 GMRES，即（如果您不知道）：

这是我的代码：

import numpy as np

def GMRes(A, b, x0, e, nmax_iter, restart=None):
    r = b - np.asarray(np.dot(A, x0)).reshape(-1)

    x = []
    q = [0] * (nmax_iter)

    x.append(r)

    q[0] = r / np.linalg.norm(r)

    h = np.zeros((nmax_iter + 1, nmax_iter))

    for k in range(nmax_iter):
        y = np.asarray(np.dot(A, q[k])).reshape(-1)

        for j in range(k):
            h[j, k] = np.dot(q[j], y)
            y = y - h[j, k] * q[j]
        h[k + 1, k] = np.linalg.norm(y)
        if (h[k + 1, k] != 0 and k != nmax_iter - 1):
            q[k + 1] = y / h[k + 1, k]

        b = np.zeros(nmax_iter + 1)
        b[0] = np.linalg.norm(r)

        result = np.linalg.lstsq(h, b)[0]

        x.append(np.dot(np.asarray(q).transpose(), result) + x0)

    return x

按照我的说法应该是正确的，但是当我执行的时候：

A = np.matrix('1 1; 3 -4')
b = np.array([3, 2])
x0 = np.array([1, 2])

e = 0
nmax_iter = 5

x = GMRes(A, b, x0, e, nmax_iter)

print(x)

注意：目前e什么都不做。

我明白了：

[array([0, 7]), array([ 1.,  2.]), array([ 1.35945946,  0.56216216]), array([ 1.73194463,  0.80759216]), array([ 2.01712479,  0.96133459]), array([ 2.01621042,  0.95180204])]

x[k]应该接近(32/7, -11/7)，因为这是结果，但它却接近(2, 1)，我做错了什么？

Answer 1

我认为算法给出了正确的结果。

您正在尝试求解 Ax=b，其中：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 3 & -4 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix}$

如果您尝试手动找到解决方案，您要解决的矩阵运算等同于可以使用替换解决的系统。

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ 3x_1-4x_2 = 2\end{cases}$

如果您尝试解决它，您会发现解决方案是：

$x_1=2, x_2=1$

这与您的算法给出的解决方案相同。

您可以使用 scipy 中已有的 GMRES 实现仔细检查：

import scipy.sparse.linalg as spla
import numpy as np

A = np.matrix('1 1; 3 -4')
b = np.array([3, 2])
x0 = np.array([1, 2])
spla.gmres(A,b,x0)

输出

array([ 2.,  1.])

Answer 2

请注意，此算法正在收敛到正确的结果，但速度太慢。收敛的 GMRES 迭代的最大次数不应超过矩阵 A 的维数。如果矩阵 A 的维数为 n，则第 (n+1) 个 Arnoldi 向量应为零，例如我们应该能够用 n 个 Arnoldi 向量完全跨越 Krylov space。我只应用以下补丁，一切都应该正常工作：

-    for k in range(nmax_iter):
+    for k in range(min(nmax_iter, A.shape[0])):
         y = np.asarray(np.dot(A, q[k])).reshape(-1)

-        for j in range(k):
+        for j in range(k + 1):

解向量序列应该是：

 [array([ 1.        ,  0.35294118]), array([ 2.,  1.])]

例如我们收敛于我们预期的两次迭代，因为 n = 2.

我的 GMRES 实施有什么问题？

What's wrong with my GMRES implementation?

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