MATLAB 的符号数学无法解决简单的不等式
MATLAB's Symbolic Math Fails to Solve a Simple Inequality
我有一个简单的不等式，MATLAB 的符号数学工具箱正在做一些非常奇怪的事情。以下是变量：
>> syms X ndot4B xiA ndot4A xiB
我正在尝试解决以下不等式（请自己解决"on paper"）：
>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA)
答案是：
ans =
(X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)
但这是不正确的。相反，如果我将其作为等式解决：
>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB, xiA)
结果是：
ans =
(X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)
以上是正确的（即 xiA 必须大于上面的解）。区别在于分子。 Maple 做对了（它应该做的）。关于可能发生的事情有什么想法吗？很难相信 MATLAB 会搞砸这么简单的计算。
编辑：
根据 horchler 的回答，我尝试在 MATLAB 和 Maple 上使用假设来解决相同的不等式。
MATLAB：
枫树：
我还是觉得MATLAB的回答很奇怪...
您的系统定义不正确。您（也许还有 Maple）做出了一些不一定正确或至少彼此不同的假设。当 solving inequalities, it's best to use the 'ReturnConditions' 选项查看解决方案的完整详细信息时。在你的情况下：
syms X xiA ndot4B ndot4A xiB
s = solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA, 'ReturnConditions', true)
这return是一个数据结构：
xiA: [1x1 sym]
parameters: [1x1 sym]
conditions: [1x1 sym]
现在您会看到有一个附加参数（s.parameters 是 x）和一组条件（s.conditions 是 X ~= 1 & ndot4B ~= 0 & 0 < x）。解决方案 s.xiA 是参数的函数：
-(x - X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)
因为你是用严格的不等式（> 而不是 >=）来解决这个问题，所以参数 x 实际上不能等于零 以保证满足不等式（Maple 可能对这两种情况一视同仁，我不确定）。
那么当你不要求 return 条件时，为什么 Matlab 的符号引擎（与 MuPAD 环境不太一样）return (X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)？首先，这个答案满足不等式并且完全有效，因为没有关于每个变量范围的信息（假设）。而不是 return 错误或警告，看起来 Matlab 只是选择了满足条件的参数 x 的第一个整数值，即 1。它似乎以类似的方式处理 <= 情况，但出于某种原因没有为 x 选择 0（这将匹配 ==）。我建议 filing a service request 如果您想尝试询问 MathWorks 为什么会这样，以及它是否可能是某种错误。
我还建议学习和使用 assumptions when working with solve。
solve的回答是正确的。您只需要分子中有一些正值即可满足不等式。它可以是任何值，因此 solve 引入了一个参数。
您可以验证您建议的答案和 solve 的答案：
syms X ndot4B xiA ndot4A xiB
eqn = X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0;
trySol = (X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B); % let's try the proposed answer
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol); % substitute the answer to get the condition
isAlways(tryCondition) % check if the condition holds?
ans =
logical
0
条件不成立。现在用相同的步骤尝试 solve 的答案：
trySol = (X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B);
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol);
isAlways(tryCondition)
ans =
logical
1
这个答案是正确的。您可以通过将这两个值替换为 xiA 来自己在纸上检查。您只需要分子中有一些正值即可满足 > 不等式。例如，即使使用 eps 而不是 1 也可以：
trySol = (X*ndot4A*xiB - eps)/(ndot4B - X*ndot4B);
isAlways(subs(eqn,xiA,trySol))
ans =
logical
1
正如霍希勒指出的那样，如果将 > 更改为 ==，则不需要正值。
solve引入了假设，X~=1和ndot4B~=0，因为当你用一个常数除不等式两边时，那个常数不可能是0。
希望对您有所帮助。
我有一个简单的不等式，MATLAB 的符号数学工具箱正在做一些非常奇怪的事情。以下是变量：
>> syms X ndot4B xiA ndot4A xiB
我正在尝试解决以下不等式（请自己解决"on paper"）：
>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA)
答案是：
ans =
(X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)
但这是不正确的。相反，如果我将其作为等式解决：
>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB, xiA)
结果是：
ans =
(X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)
以上是正确的（即 xiA 必须大于上面的解）。区别在于分子。 Maple 做对了（它应该做的）。关于可能发生的事情有什么想法吗？很难相信 MATLAB 会搞砸这么简单的计算。
编辑：
根据 horchler 的回答，我尝试在 MATLAB 和 Maple 上使用假设来解决相同的不等式。
MATLAB：
枫树：
我还是觉得MATLAB的回答很奇怪...
您的系统定义不正确。您（也许还有 Maple）做出了一些不一定正确或至少彼此不同的假设。当 solving inequalities, it's best to use the 'ReturnConditions' 选项查看解决方案的完整详细信息时。在你的情况下：
syms X xiA ndot4B ndot4A xiB
s = solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA, 'ReturnConditions', true)
这return是一个数据结构：
xiA: [1x1 sym]
parameters: [1x1 sym]
conditions: [1x1 sym]
现在您会看到有一个附加参数（s.parameters 是 x）和一组条件（s.conditions 是 X ~= 1 & ndot4B ~= 0 & 0 < x）。解决方案 s.xiA 是参数的函数：
-(x - X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)
因为你是用严格的不等式（> 而不是 >=）来解决这个问题，所以参数 x 实际上不能等于零 以保证满足不等式（Maple 可能对这两种情况一视同仁，我不确定）。
那么当你不要求 return 条件时，为什么 Matlab 的符号引擎（与 MuPAD 环境不太一样）return (X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)？首先，这个答案满足不等式并且完全有效，因为没有关于每个变量范围的信息（假设）。而不是 return 错误或警告，看起来 Matlab 只是选择了满足条件的参数 x 的第一个整数值，即 1。它似乎以类似的方式处理 <= 情况，但出于某种原因没有为 x 选择 0（这将匹配 ==）。我建议 filing a service request 如果您想尝试询问 MathWorks 为什么会这样，以及它是否可能是某种错误。
我还建议学习和使用 assumptions when working with solve。
solve的回答是正确的。您只需要分子中有一些正值即可满足不等式。它可以是任何值，因此 solve 引入了一个参数。
您可以验证您建议的答案和 solve 的答案：
syms X ndot4B xiA ndot4A xiB
eqn = X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0;
trySol = (X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B); % let's try the proposed answer
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol); % substitute the answer to get the condition
isAlways(tryCondition) % check if the condition holds?
ans =
logical
0
条件不成立。现在用相同的步骤尝试 solve 的答案：
trySol = (X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B);
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol);
isAlways(tryCondition)
ans =
logical
1
这个答案是正确的。您可以通过将这两个值替换为 xiA 来自己在纸上检查。您只需要分子中有一些正值即可满足 > 不等式。例如，即使使用 eps 而不是 1 也可以：
trySol = (X*ndot4A*xiB - eps)/(ndot4B - X*ndot4B);
isAlways(subs(eqn,xiA,trySol))
ans =
logical
1
正如霍希勒指出的那样，如果将 > 更改为 ==，则不需要正值。
solve引入了假设，X~=1和ndot4B~=0，因为当你用一个常数除不等式两边时，那个常数不可能是0。
希望对您有所帮助。