在 Python 中将分区设置为 k 组（包括 NULL 集）

Question

有几个这样的帖子 I have a list of numbers, how to generate all unique k-partitions?

但我想知道是否有一些新的高效库可以解决这个问题 (itertools ? sagemath ?)

我有一个数字列表，如何生成所有唯一的有序 k 分区？例如，如果我有 [1,2,3,4,5] 和 k=3

[[1,2],[3],[4,5]]就是这样一个分区但是[[4,5],[3],[1,2]]也是这样的分区

我还想将 NULL 集作为第 k 个子集中的可能集，例如

[[2,3],[],[1,4,5]]

之间的顺序很重要

[[1,2],[3],[4,5]]

和[[4,5],[3],[1,2]]

但是 [[2,1],[3],[5,4]] 被认为与 [[1,2],[3],[4,5]] 相同，如果您关注我。 ..

据我所知，Sagemath 的 OrderedSetPartitions(5,3) 不会提供我的问题的答案，因为它排除了 NULL 集

编辑：这是一个（完全没有优化的）尝试使用 SAGEMATH

天真地解决这个问题

def OrderedSetPartitions_0(A,k):

    cols={i for i in range(k)}
    # returns the list of k-OrderedSetPartitions of A, allowing for the empty set
    s=Subsets(cols).list()
    res=[]
    count=0
    P=[OrderedSetPartitions(A,i) for i in range(k+1)]

    for sub in s:
           print("sub=")
           print(sub)

           tmp=[ {} for i in range(k)]
           c=sub.cardinality()
           for part in P[c]:
               print("part=")
               print(part)
               for i in range(c):
                   tmp[sub[i]]=part[i]

               print("tmp=")
               print(tmp)

               res=res.append([tmp])
               # res = res.append(tmp) # tried this too
               print("res=")
               print(res)
               count=count+1
    return(res)
    # print(count)

A=range(3)
k=2
A
P=[OrderedSetPartitions(A,i) for i in range(k+1)]
# note that P[2].list is a list of list !
P[2].list()

[[{0, 1}, {2}],
 [{0, 2}, {1}],
 [{1, 2}, {0}],
 [{0}, {1, 2}],
 [{1}, {0, 2}],
 [{2}, {0, 1}]]

myset=OrderedSetPartitions_0(A,k)

我收到此错误消息，我承认我根本不明白，因为它在编码时看起来不错，但不知何故 res 似乎是 "None" 而不是 []

sub=
{}
sub=
{0}
part=
[{0, 1, 2}]
tmp=
[{0, 1, 2}, {}]
res=
None
sub=
{1}
part=
[{0, 1, 2}]
tmp=
[{}, {0, 1, 2}]
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_21.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("#

-- coding: utf-8 --\n" + support.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("bXlzZXQ9T3JkZXJlZFNldFBhcnRpdGlvbnNfMChBLGsp"),globals())+"\n"); execfile(os.path.abspath("code.py")) File "", line 1, in

  File "/private/var/folders/gm/z065gk616xg6g0xgn4c7_bvc0000gn/T/tmpryfYOj/___code___.py", line 2, in <module>
    exec compile(u'myset=OrderedSetPartitions_0(A,k)
  File "", line 1, in <module>

  File "/private/var/folders/gm/z065gk616xg6g0xgn4c7_bvc0000gn/T/tmpSH_9LF/___code___.py", line 27, in OrderedSetPartitions_0
    res=res.append([tmp])
AttributeError: 'NoneType' object has no attribute 'append'

问题是关于将列表聚合到 res 中。如果我对所有涉及 res 的行都加尖锐，我可以正确枚举输出

编辑：感谢您的回答

其实我把res=res.append(tmp)改成了res.append(tmp) 我在做 print(tmp)

时得到了正确的枚举

[{0, 1, 2}, {}, {}] [{}, {0, 1, 2}, {}] [{}, {}, {0, 1, 2}] [{0, 1}, {2}, {}] [{0, 2}, {1}, {}] [{1, 2}, {0}, {}] [{0}, {1, 2}, {}] [{1}, {0, 2}, {}] [{2}, {0, 1}, {}] [{0, 1}, {}, {2}] [{0, 2}, {}, {1}] [{1, 2}, {}, {0}] [{0}, {}, {1, 2}] [{1}, {}, {0, 2}] [{2}, {}, {0, 1}] [{}, {0, 1}, {2}] [{}, {0, 2}, {1}] [{}, {1, 2}, {0}] [{}, {0}, {1, 2}] [{}, {1}, {0, 2}] [{}, {2}, {0, 1}] [{0}, {1}, {2}] [{0}, {2}, {1}] [{1}, {0}, {2}] [{2}, {0}, {1}] [{1}, {2}, {0}] [{2}, {1}, {0}]

不过奇怪的是res错了，一定是有副作用的

[[{0, 1, 2}, {}, {}],
 [{}, {0, 1, 2}, {}],
 [{}, {}, {0, 1, 2}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {0, 1}, {}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{2}, {}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{}, {2}, {0, 1}],
 [{2}, {1}, {0}],
 [{2}, {1}, {0}],
 [{2}, {1}, {0}],
 [{2}, {1}, {0}],
 [{2}, {1}, {0}],
 [{2}, {1}, {0}]]

前 3 行是正确的，然后它开始与我在 print(tmp) 中得到的不同。这对我来说很奇怪，因为 print(tmp) 和 res.append(tmp) 之间没有指令!!!!!

Answer 1

这是 Sagemath 中的解决方案，使用 NumPy 数组和 itertools。这个想法与您的代码中的相同：创建 OrderedSetPartitions 并用空集增强它们。为了在没有太多循环的情况下做到这一点，使用了 NumPy 数组：关键部分是 partitions[:, s] = P，其中二维数组的某些列 partitions，最初填充有空集，被来自 OrderedSetPartitions 的非空集替换。

import numpy as np
from itertools import combinations
A = Set([1, 2, 3, 4, 5])        # Sage set, not Python set
k = 3                           # number of elements in partition
all_partitions = np.array(OrderedSetPartitions(A, k).list())
for i in range(k-1, 0, -1):
    P = np.array(OrderedSetPartitions(A, i).list()) if i > 1 else [[A]]
    for s in combinations(range(k), i):
        partitions = np.empty((len(P), k), dtype=object)
        partitions[:, :] = [[Set()]]
        partitions[:, s] = P
        all_partitions = np.vstack((all_partitions, partitions))
print all_partitions

输出是一个双精度 NumPy 数组。如果需要 Python 列表，您可以 return all_partitions.tolist()。

技术

贤者集（用Set([1,2,3])创建）和Python集（用set([1,2,3])或{1,2,3,4,5}创建）是不同类的对象。在 Sagemath 中，Sage 集的输出看起来更好：它们显示为 {1,2,3}，而 Python 集显示为 set([1,2,3])。出于这个原因，Sage 集在 Sagemath 中是首选。此外，OrderedSetPartitions returns Sage 集。

但是让 NumPy 与 Sage 集一起玩需要更多的努力：特别是，我无法 np.full 接受空的 Sage 集 Set() 作为填充对象。这就是为什么要用np.empty然后填进去的原因。

一个类似的问题导致案例 i == 1 被不同对待：NumPy 试图将 [[Set([1,2,3,4,5])]] 转换为三维数组而不是包含一个 Sage 集的二维数组目的。

在 Python 中将分区设置为 k 组（包括 NULL 集）

Set partitions into k groups (including the NULL set) in Python

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技术