Java: double machine epsilon 不是满足 1+x != 1 的最小 x 吗？

Question

我正在尝试确定 Java 中的 double machine epsilon，使用它的定义是最小的可表示 double 值 x 这样1.0 + x != 1.0，就像在 C/C++ 中一样。根据维基百科，该机器 epsilon 等于 2^-52（52 是 double 尾数位数 - 1）。

我的实现使用 Math.ulp() 函数：

double eps = Math.ulp(1.0);
System.out.println("eps = " + eps);
System.out.println("eps == 2^-52? " + (eps == Math.pow(2, -52)));

结果如我所料：

eps = 2.220446049250313E-16
eps == 2^-52? true

到目前为止，还不错。但是，如果我检查给定的 eps 确实是 最小的 x 使得 1.0 + x != 1.0，似乎有一个更小的，又名上一个 double 值根据 Math.nextAfter():

double epsPred = Math.nextAfter(eps, Double.NEGATIVE_INFINITY);
System.out.println("epsPred = " + epsPred);
System.out.println("epsPred < eps? " + (epsPred < eps));
System.out.println("1.0 + epsPred == 1.0? " + (1.0 + epsPred == 1.0));

产生：

epsPred = 2.2204460492503128E-16
epsPred < eps? true
1.0 + epsPred == 1.0? false

如我们所见，我们有一个小于机器的 epsilon，它与 1 相加得到的结果不是 1，这与定义相矛盾。

那么根据这个定义，普遍接受的机器 epsilon 值有什么问题呢？还是我错过了什么？我怀疑浮点数学的另一个深奥方面，但我看不出我哪里出错了...

编辑：感谢评论者，我终于明白了。我实际上使用了错误的定义！ eps = Math.ulp(1.0) 计算到最小可表示双精度 > 1.0 的距离，但是——这就是重点——eps 是 而不是 最小的 x 与 1.0 + x != 1.0，而是该值的两倍：将 1.0 + Math.nextAfter(eps/2) 添加到 up 到 1.0 + eps.

Answer 1

我不确定你的实验方法/理论是否合理。数学 class 的文档指出：

For a given floating-point format, an ulp of a specific real number value is the distance between the two floating-point values bracketing that numerical value

ulp 方法的文档说：

An ulp of a double value is the positive distance between this floating-point value and the double value next larger in magnitude

所以，如果您想要最小的 eps 值 1.0 + eps != 1.0，您的 eps 通常应该小于 Math.ulp(1.0)，因为至少对于任何大于 Math.ulp(1.0) / 2 的值，结果都会向上舍入。

我认为最小的这样的值将由Math.nextAfter(eps/2, 1.0)给出。

Answer 2

using the definition of it being the smallest representable double value x such that 1.0 + x != 1.0, just as in C/C++

这从来不是定义，在 Java 中没有，在 C 中没有，在 C++ 中也没有。

定义是机器epsilon是1和最小float/double大于1的距离

您的“定义”是wrong by a factor of nearly 2。

此外，缺少 strictfp 只允许更大的指数范围，不应对 epsilon 的经验测量有任何影响，因为它是根据 1.0 及其后继计算得出的，每个which 和 which 的差可以用标准指数范围来表示。

Java: double machine epsilon 不是满足 1+x != 1 的最小 x 吗？

Java: Double machine epsilon is not the smallest x such that 1+x != 1?

java

floating-point

epsilon