在 python 中仅使用整数数学计算平方根

Question

我正在研究不支持浮点数学的微控制器。仅限整数数学。因此，没有 sqrt() 函数，我无法导入任何数学模块。 MCU 运行 python 的子集，支持八种 Python 数据类型：None、整数、布尔值、字符串、函数、元组、字节列表和迭代器。另外，MCU不能做楼层划分(//)。

我的问题是我需要计算 3 个有符号整数的大小。

mag = sqrt(x**2+y**2+z**2)

FWIW，这些值只能在 +/-1024 的范围内，我只需要一个近似值。有没有人有解决这个问题的模式？

Answer 1

有一个算法可以计算它，但是它使用了楼层划分，没有这个就是我想到的

def isqrt_linel(n):
    x = 0
    while (x+1)**2 <= n:
        x+=1
    return x

顺便说一句，我知道的算法使用牛顿法：

def isqrt(n):
    #https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root
    #https://gist.github.com/bnlucas/5879594
    if n>=0:
        if n == 0:
            return 0
        a, b = divmod(n.bit_length(), 2)
        x = 2 ** (a + b)
        while True:
            y = (x + n // x) >> 1
            if y >= x:
                return x
            x = y
    else:
        raise ValueError("negative number")

Answer 2

请注意，最大可能的总和为 3*1024**2，因此最大可能的平方根为 1773（下限 - 或 1774 四舍五入）。

所以你可以简单地以0作为起始猜测，并重复加1直到平方超过总和。这不会超过 1770 次迭代。

当然这可能太慢了。一个简单的二进制搜索可以将其减少到 11 次迭代，并且不需要除法（我假设 MCU 可以右移 1 位，这与 floor-division by 2 相同）。

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这是一些代码，用于二分搜索返回真平方根的底数：

def isqrt(n):
    if n <= 1:
        return n
    lo = 0
    hi = n >> 1
    while lo <= hi:
        mid = (lo + hi) >> 1
        sq = mid * mid
        if sq == n:
            return mid
        elif sq < n:
            lo = mid + 1
            result = mid
        else:
            hi = mid - 1
    return result

检查，运行：

from math import sqrt
assert all(isqrt(i) == int(sqrt(i)) for i in range(3*1024**2 + 1))

这会根据您所说的内容检查所有可能的输入 - 由于二进制搜索在所有情况下都很难正确处理，因此最好检查每种情况！在 "real" 机器上不需要很长时间 ;-)

可能很重要

为了防止可能的溢出并显着加快它的速度，将 lo 和 hi 的初始化更改为：

    hi = 1
    while hi * hi <= n:
        hi <<= 1
    lo = hi >> 1

然后运行时间与结果中的位数成正比，大大加快了较小结果的速度。事实上，对于 "close" 的足够定义，你可以就此打住。

为了子孙后代 ;-)

看起来 OP 实际上根本不需要平方根。但是对于可能负担不起除法的人来说，这里有一个简化版本的代码，也从初始化中删除了乘法。注意：我没有使用 .bit_length()，因为许多已部署的 Python 版本不支持它。

def isqrt(n):
    if n <= 1:
        return n
    hi, hisq = 2, 4
    while hisq <= n:
        hi <<= 1
        hisq <<= 2
    lo = hi >> 1
    while hi - lo > 1:
        mid = (lo + hi) >> 1
        if mid * mid <= n:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    assert lo + 1 == hi
    assert lo**2 <= n < hi**2
    return lo

from math import sqrt
assert all(isqrt(i) == int(sqrt(i)) for i in range(3*1024**2 + 1))

在 python 中仅使用整数数学计算平方根

Calculating square root using only integer math in python

python

math

square-root

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可能很重要

为了子孙后代 ;-)