对于需要精度的定点，最好的乘法算法是什么

Question

我知道，我知道，人们可能会说 "just switch to floating point"，但由于我正在进行的项目的性质，目前这不是一个选项。我正在帮助用 C++ 编写一种编程语言，目前我很难尝试获得一个非常准确的乘法算法，我有一个 VM，主要是 mod/smod、div/sdiv 的操作（即带符号的数字是在这里不是问题），mul，一个完全小数的减半数和一个我乘以和除以创建我的移位的推送移位数。为简单起见，假设我正在使用 32 字节 space。我的算法几乎适用于任何涉及整数的东西，只是当我的小数部分超过 16 个字节时，我运行会遇到精度问题，如果我对它进行四舍五入，数字会相当准确，但是我希望它尽可能准确，甚至愿意为此牺牲一点性能，只要它保持固定点并且不进入浮点领域。我所关心的算法将以一种伪代码的形式映射出来。会喜欢任何关于如何使它变得更好的见解，或者任何关于为什么根据计算科学定律的推理，我所要求的是徒劳的努力。

对于完全小数（所有字节都是小数）：

 A = num1 / halfShift //truncates the number down to 16 so that when multiplied, we get a full 32 byte num
 B = num2 / halfShift
 finalNum = A * B

对于其余大于 16 字节的数字，我使用此算法：

 this algorithm can essentially be broken down into the int.frac form
 essentially A.B * C.D taking the mathematic form of
 D*B/shift + C*A*shift + D*A + C*B
 if the fractional numbers are larger than the integer, I halve them, then multiply them together in my D*B/shift
 just like in the fully fractional example above

有什么我应该注意的 "magic" 舍入方法吗？请告诉我。

Answer 1

乘积的小数位数等于操作数中小数位数的总和。您必须执行该精度的乘法，然后根据所需的目标精度进行舍入或截断。

Answer 2

如果你先做乘法再做缩放，你会得到最准确的结果。当然，这意味着您需要将乘法结果存储在 64 位 int 类型中。如果那不是一种选择，那么您提前换档的方法是有道理的。但是你肯定失去了精度。

无论哪种方式，如果舍入而不是截断，都可以稍微提高准确性。

我支持阿空加瓜四舍五入的建议。为此，您需要在应用除法之前添加将被截断的最高位。

在你的情况下看起来像这样：

A = (num1 + 1<<(halfshift-1)) >> halfshift 
B = (num2 + 1<<(halfshift-1)) >> halfshift
finalNum = A * B

编辑：

有关如何根据因子值动态缩放因子和结果的示例（这会提高分辨率，从而提高结果的准确性）：

shiftA 和 shiftB 需要设置为 A 和 B 都是 16 字节的小数，因此 32 字节的结果不会溢出。如果事先不知道shiftA和shiftB，可以通过计算num1和num2的前导零来确定。

A = (num1 + 1<<(shiftA-1)) >> shiftA
B = (num2 + 1<<(shiftB-1)) >> shiftB
finalNum = (A * B) >> (fullshift - (shiftA + shiftB))

对于需要精度的定点，最好的乘法算法是什么

What's the best multiplication algorithm for fixed point where precision is necessary

c++

algorithm

multiplication

fixed-point