在 Coq 中定义同构类

Question

如何在 Coq 中定义同构类？

假设我有一条记录 ToyRec:

Record ToyRec {Labels : Set} := {
X:Set;
r:X->Labels
}.

以及 ToyRec 类型的两个对象之间的同构定义，说明两个如果存在保留映射元素标签的双射 f:T1.(X)->T2.(X) ，则对象 T1 和 T2 是同构的。

Definition Isomorphic{Labels:Set} (T1 T2 : @ToyRec Labels) : Prop :=
exists f:T1.(X)->T2.(X), (forall x1 x2:T1.(X), f x1 <> f x2) /\ 
                         (forall x2:T2.(X), exists x1:T1.(X), f x1 = f x2) /\
                         (forall x1:T1.(X) T1.(r) x1 = T2.(r) (f x1)).

现在我想定义一个接受对象 T1 和 returns 集合的函数包含与 T1 同构的所有对象。

g(T1) = {T2 | Isomorphic T1 T2}

如何在 coq 中做这样的事情？我知道我可能在理论上推理太过固定在这里，但是同构类的正确类型理论概念是什么？或者更基本地说，如何定义满足给定属性的所有元素的集合（或类型）？

Answer 1

这真的取决于你想用它做什么。在 Coq 中，是一个理解类型 {x : T | P x}，它是类型 T 中所有元素 x 的类型，满足属性 P。然而，它是一个类型，意味着它是用来对其他术语进行分类的，而不是一个你可以用传统方法计算的数据结构感觉。因此，您可以使用它，例如，在 T 上编写一个函数，该函数仅适用于满足 P 的元素（在这种情况下，函数的类型将为 {x : T | P x} -> Y，其中Y 是它的结果类型），但是你不能用它来编写一个函数来计算 T 中有多少元素满足 P.

如果你想用这个集合来计算，事情会变得有点复杂。让我们假设 P 是可判定的属性这样事情就会变得更容易一些。如果 T 是有限类型，那么您可以设置一个具有理解运算符的数据结构（例如，查看 Ssreflect 库）。但是，当 T 是无限时，这会中断，这就是您的 ToyRec 类型的情况。正如 Vinz 所说，没有通用的方法可以建设性地将此集合构建为数据结构。

如果您准确地解释了您要使用此类型做什么，也许会更容易获得完整的答案。

在 Coq 中定义同构类

Defining isomorphism classes in Coq

coq

isomorphism