矩阵乘法结果取值范围

Question

这是最初的问题： About the output value range of LeGall 5/3 wavelet

今天发现其实transform可以看作是矩阵乘法。小波系数很容易计算为矩阵（为了估计值，忽略所有向下舍入的动作，不会影响最大值的估计）。

DWT2的第1级有两个步骤，即在两个方向上进行LeGall 5/3过滤。如果我们将 I 视为输入 8*8 矩阵，将 A 视为小波系数矩阵。

对于水平方向：输出 1 = I.A
然后计算垂直方向：其实可以表示为output2 = output1'.A（用output1的转置再乘A）就得到了我们想要的结果的转置。
转置输出 2。 output_lvl1 = output2' = (output1'.A)' = ((I.A)'.A)' = (A'.I'.A)'=A'.I.A （我把细节放在这里是为了在没有数学符号的情况下清楚...）

而小波的第2级仅在output_lvl1(1:4,1:4)的LL区域执行。基本上过程是相同的（让系数矩阵表示为 B）。

这是根据我的计算得到的矩阵A和B的系数（希望它是正确的...）

A = [0.75  -0.125 0      0      -0.5  0    0    0;
        0.5     0.25   0      0      1    0    0    0;
        -0.25 0.75  -0.125  0      -0.5 -0.5 0    0;
        0     0.25   0.25   0      0    1    0    0;
        0     -0.125 0.75   -0.125 0    -0.5 -0.5 0
        0     0      0.25   0.25   0    0    1    0;
        0     0      -0.125 0.625  0    0    -0.5  -1;
        0     0      0      0.25   0    0    0    1];

B = [0.75  -0.125 -0.5 0;
     0.5   0.25   1    0;
     -0.25 0.75   -0.5 -1;
     0     0.125  0    1];

现在问题变成了： 1. 如果我们知道A和Input(matrix I)的取值范围是-128到+127，那么output_lvl1 = A'.I.A?

的取值范围是多少

如果我们使用output_lvl1(1:4,1:4)作为输入I2，B'的取值范围是多少。I2.B?

我真的需要一些数学帮助。提前谢谢你。

Answer 1

好吧，我终于找到了解决这个问题的方法。 SymPy lib才是我真正需要的。

因为最大值只能出现在 B'.I2.B 的结果中。所以一个程序会做这个。

from sympy import *
def calcu_max(strin):
    x=0
    strin1 = str(strin).replace('*',' ').replace('+',' ').replace('-',' ')
    strin1 = strin1.split(' ')
    for ele in strin1:
        if '[' in ele or ']' in ele or ele =='':
            continue
        x = x + float(ele)
    return x

DWT1 = Matrix(8, 8, [0.75, -0.125, 0, 0,-0.5, 0, 0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -0.25, 0.75, -0.125, 0, -0.5, -0.5, 0, 0, 0, 0.25, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0,-0.125, 0.75, -0.125, 0, -0.5, -0.5, 0, 0, 0, 0.25, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -0.125, 0.625, 0, 0, -0.5, -1, 0, 0, 0, 0.25, 0, 0, 0, 1])

Input1 = MatrixSymbol('A',8,8)
DWT1_t = Transpose(DWT1)

output_lvl1_1d = DWT1_t*Input1
output_lvl1_2d = output_lvl1_1d* DWT1

#print 'output_lvl1_2d[0,0]: ' 
#print simplify(output_lvl1_2d[0,0])

#bulit 2nd lvl input from the lvl1 output (1:4,1:4)

input_lvl2 = output_lvl1_2d[0:4,0:4]

DWT2 = Matrix(4, 4, [0.75, -0.125, -0.5, 0, 0.5, 0.25, 1, 0, -0.25, 0.75, -0.5, -1, 0, 0.125, 0, 1])

DWT2_t = Transpose(DWT2)

output_lvl2_1d = DWT2_t*input_lvl2
output_lvl2_2d = output_lvl2_1d * DWT2


#Lvl 2 calculate max
max_lvl2 = zeros(4,4)
for i in range(4):
    for j in range(4):
        max_lvl2[i,j]=128.0*calcu_max(simplify(output_lvl2_2d[i,j]))
        print str(i)+' '+str(j)+' '+str(max_lvl2[i,j])
        #print max_lvl2[i,j]
print max_lvl2

好吧，这是结果（将所有可能的最大值放在一个矩阵中，最小值对应为负数）：

[338.000000000000, 266.500000000000, 468.000000000000, 468.000000000000], 
[266.500000000000, 210.125000000000, 369.000000000000, 369.000000000000], 
[468.000000000000, 369.000000000000, 648.000000000000, 648.000000000000], 
[468.000000000000, 369.000000000000, 648.000000000000, 648.000000000000]

那么648就是我要找的

矩阵乘法结果取值范围

matrix multiplication result value range

math

matlab

matrix

matrix-multiplication