p(x)⇒∀x.p(x) 是偶然的？

Question

我遇到一个问题问流水句是不是valid/contingent/unsatisfiable:

p(x)⇒∀x.p(x)

a sentence with free variables is equivalent to the sentence in which all of the free variables are universally quantified.

Therefore 我认为第一个关系句 p(x) 等于∀x.p(x) 因此这个句子是有效的，即。它永远是真的。

然而，正确答案是句子是偶然的，即。在某些真值分配下它是真的，而在其他一些真值分配下它是假的。

那么为什么句子是偶然的？答案是错误的吗？

Answer 1

我认为这取决于你如何阅读句子。

如果您将其视为定义，则它不是偶然的。

但是，如果你把它当成纯逻辑来读的话……那么这个语句中的x其实有2个意思。蕴涵左边的x和右边量化的x不同

p(x) => for all x . p(x)

与

的含义相同

p(x) => for all y . p(y)

这显然是偶然的。并非所有谓词都如此 p.

（例如：

声明然后说：

 X is left-handed implies that everyone is left-handed.

...这不是逻辑上有效的语句。

查看@sawa 的回答以获得更多"mathematically rigorous" 解释。

Answer 2

您有一个声明：

p(x)⇒∀x.p(x)

如果你普遍关闭自由变量，你会得到：

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x))

换句话说：

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y))

这不是重言式，而是偶然的。用非技术术语来说，它是：

for any x, if p(x) is true, then p(y) is true for all y

或者，将其转换为等效形式：

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y))

上面写着：

if p(x) is true for some x, then p(y) is true for all y

换句话说，

p(x) is either always true or always false

p(x)⇒∀x.p(x) is contingent?