复利的力量

Question

假设一个人每月将语料库存入银行。银行每个月付给他利息。现在对于给定的 Investment Corpus P、利率 R 和 Tenure T，我想在任期结束后计算总金额。

如果你google术语复利的力量你可以找到数以千计的在线计算器来解决这个问题。

举个例子（注：与简单的复利问题不同）：

If P is 52.5, R is 3.6% Anually, T is 5 Months, Suppose Total Amount is A
Now, R will be 0.3% monthly (since bank pays him every month)

After First Month:  A = 52.5*(1 + 0.003) = 52.6575 [His Corpus with added Interest]

                      **Then he Deposit Corpus again**

After Second Month: A = (52.5 + 52.6575)*(1 + 0.003) = 105.4729725

After Third Month:  A = (52.5 + 105.4729725)*(1 + 0.003) = 158.4468914

After Forth Month:  A = (52.5 + 158.4468914)*(1 + 0.003) = 211.5797321

After Fifth Month:  A = (52.5 + 211.5797321)*(1 + 0.003) = 264.8719713 ~ 265

所以，答案是 265。

一个问题的实现可能是这样的：(Python 2)

p=float(raw_input('Enter the Corpus: '))
r=(1+float(raw_input('Enter the Annual Rate: '))/1200)
t=input('Enter the Tenure: ')

a=p+0
m=1
while m<t:
    a=(a+p)*r
    m+=1

print 'Total Amount',int(round(a))

我知道这不是最好的方法。我尝试了几个小时来推导这个问题的一般公式，但失败了。所以，我不想知道这个问题是否存在任何 Formula 或更好的 Algorithm.

Answer 1

我们可以找到以下问题的封闭形式的解决方案（与您所说的略有不同，但解决方案将以任何一种方式工作）：

  a(n+1) = a(n) * r + p
  a(0) = A

  a(1) = A*r + p

  a(2) = a(1)*r + p
  a(2) = (A*r + p)*r + p
  a(2) = A*r^2 + p*r + p

  a(3) = a(2)*r + p
  a(3) = (A*r^2 + p*r + p)*r + p
  a(3) = A*r^3 + p*r^2 + p*r + p
  ...

这个和是一个几何级数，你可以通过谷歌搜索一下，简化为：

这可以在 O(1) 中解决，使用 O(1) pow 函数来计算幂。

Answer 2

我找到了答案。

假设函数 A(t) 是 t 个月到期后的总金额，P 是语料库，r 是 (Monthly Rate of Interest + 1) 或r=R+1.

现在，

A(1)= P*r

A(2)= (A(1) + P)*r
    = (P*r  + P)*r
    = P*r^2 + P*r

A(3)= (A(2) + P)*r
    = (P*r^2 + P*r)*r
    = P*r^3 + P*r^2 + P*r

A(t)= P*r^t + P*r^(t-1) + ... + P*r^3 + P*r^2 + P*r
    = (P*r) * [P*r^(t-1) + P*r^(t-2) + ... + P*r^2 + P*r + 1]
    = (P*r) * (r^(t-1)-1) / (r - 1)                   [Formula of sum in G.P.]
    = (P*r) * (r^(t-1)-1) / R                         [Since r = R + 1]

Or, only in terms of P, R, t:
A(t) = P*(1 + R) * ((1 + R)^(t-1)-1) / R

当我们考虑 r=R+1.

时，这就是简单的 几何级数

现在，举个例子， P=52.5 R=0.003 t=5

r = 1 + R = 1.003
A = A(5) = (52.5 * 1.003) * (1.003^5 - 1) / 0.003 = 264.87197128801836 ~ 265

感谢您 GuyGreer 宝贵的时间和精力。我的想法是仅从您的回答中考虑 r=R+1 来解决问题，否则我花了几个小时将其分解为简单的方程式。

复利的力量

The Power of Compounding

algorithm

formula