坐标变换的缩放

Question

我在矩形 space 中有一组点。缩放 x 坐标，使其以 0 为中心：

#original points
x <- scale(runif(10000, min= 0, max= 1000), scale=FALSE)
y <- runif(10000, min= 0, max= 750)

plot(x, y, pch='.')

我想将这些点缩放成抛物线，以便 y= 0 附近的点的 x 值比 y= 750 附近的 x 值更接近，本质上是扭曲图像：

#SC = scale
SC <- 0
x_scale = x * (y + SC)
y_scale = y * (y + SC)

plot(x_scale,y_scale, pch='.')

然而，有时我并不想要完整的抛物线。我希望有一点缓冲：

SC <- 200 
x_scale_200 = x * (y + SC)
y_scale_200 = y * (y + SC)

plot(x_scale_200, y_scale_200, pch='.')

随着 SC 接近无穷大，绘制的 space 接近原始矩形：

SC <- 10000
x_scale_10k = x * (y + SC)
y_scale_10k = y * (y + SC)

plot(x_scale_10k, y_scale_10k, pch='.')

我想创建一个变量 T，将 SC 从 0 缩放到 1。我基本上不知道随着 SC 变大，翘曲程度如何变化.

在我看来，指定 T = 0 的函数会产生抛物线，而 T = 1 会产生矩形。我可以将 T 乘以 10,000 并使用它（只是假设结果足够接近矩形），但是 T = 0 和 T = 0.1 之间的差异将比T = 0.9 和 T = 1.0 之间的区别。我想 T 线性缩放 'warping' 的度数。关于（线性缩放）T 与翘曲的数学关系可能是什么以及如何在此处对其进行编码，只是有点迷失。

我考虑过在数学论坛上发布这个，但认为它对于 Whosebug 来说仍然足够合适。

Answer 1

虽然我最初从未解决过这个问题（事实证明我不需要）我只是碰巧遇到了这个问题（4 年后），答案对我来说似乎很明显。

一个解决方案是使用 logit 函数来转换输入（在这种情况下，需要使用 0.5 到 1 而不是 0 到 1，但这也可以缩放。因为 R 不喜欢Inf（logit(1) 的结果），必须从 1 中减去一个小值。然后将其缩放 1000（根据一些摆弄选择）以从抛物线缩放到矩形。

sc_fun <- function(x)
{
  if (x == 1)
  {
    x1 <- x - 0.0000000000001
  } else {
    x1 <- x
  }
  SC <- boot::logit(x1) * 1000

  return(SC)
}

SC <- sc_fun(0.5)

x_scale_fun = x * (y + SC)
y_scale_fun = y * (y + SC)
plot(x_scale_fun, y_scale_fun, pch='.')

SC <- sc_fun(1)

x_scale_fun = x * (y + SC)
y_scale_fun = y * (y + SC)
plot(x_scale_fun, y_scale_fun, pch='.')

坐标变换的缩放

Scaling for coordinate transformation

r

scale