坐标系变换，3d投影到2d平面

Question

我有一个全局坐标系（X、Y、Z）和一个带点的三角形（A、B、C 和中心）。我知道这些点的所有坐标。

我需要将全局坐标系从 (0; 0; 0) 移动到三角形中心，以便所有点：A、B、C 和中心都有新的坐标，其中 Z = 0。之后我需要知道那些点的新坐标与新坐标系的关系。新坐标系的方向不重要
此外，如果有可能将 3D 点（三角形点）转换为 2D 平面而不丢失其几何形状（大小）。应该不是二维平面的投影。

>> A=[10.63307; -7.72528; 21.26636];
B=[4.06139; -12.49988; 21.26636];
C=[-6.57172; -20.22529; 13.14344];
Centr=[-4.38113; -13.48349; 18.55872];

>> V1=(B-A)/(norm(B-A))

V1 =

   -0.8090
   -0.5878
         0

>> V2=((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1))/(norm((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1)))

V2 =

    0.0000
   -0.0000
   -1.0000

>> V3=cross(V1,V2)

V3 =

    0.5878
   -0.8090
    0.0000

>> M=[V1,V2,V3]

M =

   -0.8090    0.0000    0.5878
   -0.5878   -0.0000   -0.8090
         0   -1.0000    0.0000

>> Anew=inv(M)*(A-Centr)

Anew =

  -15.5313
   -2.7076
    4.1666

>> Bnew=inv(M)*(B-Centr)

Bnew =

   -7.4083
   -2.7076
    4.1666

>> Cnew=inv(M)*(C-Centr)

Cnew =

    5.7350
    5.4153
    4.1666

这是我得到的： From this

To this

Answer 1

问题可以表示为找到 3×3 矩阵 M 使得点 P 的坐标可以在旧坐标系（P_old , 3 行) 和新坐标系 (P_new, 3 行)。这是一个仿射变换：

P_old = Center + M * P_new     (1)

与 M 的（矩阵向量）乘法将其定向回旧系统，并添加 Center 的坐标将其转换回旧原点。

等式(1)可化为：

P_new = M^{-1} * (P_old - Center)     (2)

其中 M^{-1} 是 M 的倒数，用于根据旧坐标计算新坐标（如果该点属于三角形平面，则第三行将为 0）。

矩阵M由新基在旧系统中的坐标组成，每列一个基向量。现在必须找到这样一个基础。

这个依据可以取自（这都是伪代码）：

重新规范化AB
```
       AB
V1 = ______
    || AB ||
```
- AB这里的意思是向量AB（上面有一个箭头）：
```
|b_x - a_x|
|b_y - a_y|
|b_z - a_z|
```
- || . ||是欧几里德范数（^2表示平方，不是xor）：
```
|| V || = sqrt(V_x^2 + V_y^2 + V_z^2)
```
AC（也是一个向量，定义为 AB），但减去它在 V1 上的投影，使其与 V1 正交，并重新归一化（如果三角形不是真正的三角形，这将失败并被零除）：
```
        AC - (AC.V_1) V1
V2 = _______________________
     || AC - (AC.V_1) V1 ||
```
- M.N是标量积：
```
M.N = M_x * N_x + M_y * N_y + M_z * N_z
```
- (AC.V_1) V1 只是标量 (AC.V_1) 与向量 V1

可以取叉积得到笛卡尔坐标系的第三个向量：

V3 = V1 x V2

叉积定义为：

          |V1_y*V2_z - V1_z*V2_y|
V1 x V2 = |V1_z*V2_x - V1_x*V2_z|
          |V1_x*V2_y - V1_y*V2_x|

则M可以取为|V1 V2 V3|（每个Vx在3行），然后用公式（2）计算其逆。

此转换（使用倒置的 M）应该为三角形平面上第三轴为 0 的点生成新坐标（使其成为该平面上的二维坐标），并保持大小根据欧几里得范数。

坐标系变换，3d投影到2d平面

Coordinate system transformation, 3d projection to 2d plane

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