为什么 TSP NP-hard 而 Hamiltonian 路径 NP-complete？
Why is TSP NP-hard while the Hamiltonian path NP-complete?
为什么这两个问题 TSP and Hamiltonian path problem 都不是 NP 完全问题？
它们看起来一模一样。
NP-hardness 和 NP-completeness 的定义既相关又不同。具体来说，如果 NP 中的每个问题都在多项式时间内归结为 NP 问题，则该问题是 NP-hard 问题；如果问题既是 NP-hard 问题又是 NP 问题本身，则该问题是 NP-complete 问题。
class NP 由决策问题组成，即具有 yes/no 答案的问题。结果，TSP 不能在 NP 中，因为预期的答案是一个数字而不是是或否。因此，TSP可以是NP-hard的，但不能是NP-complete的。
另一方面，哈密顿路径问题要求yes/no答案，而且恰好是NP。因此，由于它也是 NP 难的，所以它是 NP 完全的。
现在，您可以通过将问题从 "what's the cheapest path?" 更改为 "is there a path that costs X or less?," 来获取 TSP 并将其转换为决策问题，并且后一个公式属于 NP 并且恰好是 NP-complete。
要使问题 X NP-complete，它必须满足：
- X在NP中，给定X的解，可以在多项式时间内验证解。
- X 在 NP-hard 中，也就是说，每个 NP 问题都可以在多项式时间内归约到它（你可以通过从已知的 NP-hard 问题归约来做到这一点（例如哈密顿路径））。
有两个版本的旅行商问题 (TSP)：
- 优化版（可能就是你看的那个），即求TSP的最优解。这不是决策问题，因此不能在 NP 中，但是在 NP-hard 中可以通过 Hamiltonian Path reduction 证明。因此这不是一个NP完全问题。
- 决策版本 - 给定一个整数 K 是否有一条路径通过图中每个顶点的长度 < K？这是一个决策（yes/no）问题，一个解决方案可以在多项式时间内验证（只需遍历路径并查看它是否触及每个顶点）所以它在 NP 中，但它也在 NP-hard 中（通过与上述相同的证明）。由于它满足NP完全性的两个要求，因此它是一个NP完全问题。
为什么这两个问题 TSP and Hamiltonian path problem 都不是 NP 完全问题？
它们看起来一模一样。
NP-hardness 和 NP-completeness 的定义既相关又不同。具体来说，如果 NP 中的每个问题都在多项式时间内归结为 NP 问题，则该问题是 NP-hard 问题；如果问题既是 NP-hard 问题又是 NP 问题本身，则该问题是 NP-complete 问题。
class NP 由决策问题组成，即具有 yes/no 答案的问题。结果，TSP 不能在 NP 中，因为预期的答案是一个数字而不是是或否。因此，TSP可以是NP-hard的，但不能是NP-complete的。
另一方面，哈密顿路径问题要求yes/no答案，而且恰好是NP。因此，由于它也是 NP 难的，所以它是 NP 完全的。
现在，您可以通过将问题从 "what's the cheapest path?" 更改为 "is there a path that costs X or less?," 来获取 TSP 并将其转换为决策问题，并且后一个公式属于 NP 并且恰好是 NP-complete。
要使问题 X NP-complete，它必须满足：
- X在NP中，给定X的解，可以在多项式时间内验证解。
- X 在 NP-hard 中，也就是说，每个 NP 问题都可以在多项式时间内归约到它（你可以通过从已知的 NP-hard 问题归约来做到这一点（例如哈密顿路径））。
有两个版本的旅行商问题 (TSP)：
- 优化版（可能就是你看的那个），即求TSP的最优解。这不是决策问题，因此不能在 NP 中，但是在 NP-hard 中可以通过 Hamiltonian Path reduction 证明。因此这不是一个NP完全问题。
- 决策版本 - 给定一个整数 K 是否有一条路径通过图中每个顶点的长度 < K？这是一个决策（yes/no）问题，一个解决方案可以在多项式时间内验证（只需遍历路径并查看它是否触及每个顶点）所以它在 NP 中，但它也在 NP-hard 中（通过与上述相同的证明）。由于它满足NP完全性的两个要求，因此它是一个NP完全问题。