具有 MPFR 的不同精度的次正规数
Subnormal numbers in different precisions with MPFR
我想模拟各种 n 位二进制浮点格式，每个格式都有指定的 e_max 和e_min，精度为 p。我希望这些格式能够模拟次正规数，忠实于 IEEE-754 标准。
自然地，我的搜索将我带到了 MPFR 库，它符合 IEEE-754 标准并且能够通过 mpfr_subnormalize() 函数支持次正规。但是，我 运行 对使用 mpfr_set_emin() 和 mpfr_set_emax() 正确设置启用次正规的环境感到困惑。我将使用 IEEE 双精度作为示例格式，因为这是 MPFR 手册中使用的示例：
http://mpfr.loria.fr/mpfr-current/mpfr.html#index-mpfr_005fsubnormalize
mpfr_set_default_prec (53);
mpfr_set_emin (-1073); mpfr_set_emax (1024);
以上代码来自上面link中的MPFR手册——注意既不是e_max也不是e_min 等于 double 的预期值。这里，p设置为53，和double类型一样，但是e_max设置为1024，而不是正确的值1023，而e_min设置为-1073；远低于 -1022 的正确值。我知道在 MPFR 的中间计算中将指数边界设置得太紧会导致 overflow/underflow，但我发现设置 e_min 对于确保正确的次正规来说是至关重要的数字；太高或太低导致低于正常的 MPFR 结果（更新为 mprf_subnormalize()）与相应的 double 结果不同。
我的问题是应该如何决定将哪些值传递给 mpfr_set_emax() 和（尤其是）mpfr_set_emin()，以便 gua运行tee 纠正浮点数的次正规行为具有指数范围 e_max 和 e_min 的格式？似乎没有关于此事的任何详细文档或讨论。
非常感谢，
詹姆斯.
编辑 2016 年 7 月 30 日：这是一个小程序，演示了 e_max 和 e_min[= 的选择52=] 用于单精度数字。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <float.h>
#include <mpfr.h>
using namespace std;
int main (int argc, char *argv[]) {
cout.precision(120);
// IEEE-754 float emin and emax values don't work at all
//mpfr_set_emin (-126);
//mpfr_set_emax (127);
// Not quite
//mpfr_set_emin (-147);
//mpfr_set_emax (128);
// Not quite
//mpfr_set_emin (-149);
//mpfr_set_emax (128);
// These float emin and emax values work in subnormal range
mpfr_set_emin (-148);
mpfr_set_emax (128);
cout << "emin: " << mpfr_get_emin() << " emax: " << mpfr_get_emax() << endl;
float f = FLT_MIN;
for (int i = 0; i < 3; i++) f = nextafterf(f, INFINITY);
mpfr_t m;
mpfr_init2 (m, 24);
mpfr_set_flt (m, f, MPFR_RNDN);
for (int i = 0; i < 6; i++) {
f = nextafterf(f, 0);
mpfr_nextbelow(m);
cout << i << ": float: " << f << endl;
//cout << i << ": mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
mpfr_subnormalize (m, 1, MPFR_RNDN);
cout << i << ": mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
}
mpfr_clear (m);
return 0;
}
我正在复制我在 ResearchGate 上给出的答案（带有 link 到 mpfr_subnormalize 文档）：
表示有效数字和相关指数有不同的约定。 IEEE 754 选择考虑 1 和 2 之间的有效数，而 MPFR（与 C 语言一样，例如参见 [=11=]）选择考虑 1/2 和 1 之间的有效数（出于与多精度相关的实际原因）。例如，数字 17 在 IEEE 754 中表示为 1.0001·24，在 MPFR 中表示为 0.10001·25。如您所见，这意味着与 IEEE 754 相比，MPFR 中的指数增加了 1，因此 emax = 1024 而不是双精度的 1023。
关于双精度emin的选择，需要能够表示2−1074 = 0.1·2−1073，所以emin最多需要-1073（在MPFR中，所有数字都归一化）。
如文档所述，mpfr_subnormalize 函数认为次正规指数范围是从 emin 到 emin + PREC (x) − 1，例如，您需要设置 emin = −1073 来模拟 IEEE 双精度。
我想模拟各种 n 位二进制浮点格式，每个格式都有指定的 e_max 和e_min，精度为 p。我希望这些格式能够模拟次正规数，忠实于 IEEE-754 标准。
自然地，我的搜索将我带到了 MPFR 库，它符合 IEEE-754 标准并且能够通过 mpfr_subnormalize() 函数支持次正规。但是，我 运行 对使用 mpfr_set_emin() 和 mpfr_set_emax() 正确设置启用次正规的环境感到困惑。我将使用 IEEE 双精度作为示例格式，因为这是 MPFR 手册中使用的示例：
http://mpfr.loria.fr/mpfr-current/mpfr.html#index-mpfr_005fsubnormalize
mpfr_set_default_prec (53);
mpfr_set_emin (-1073); mpfr_set_emax (1024);
以上代码来自上面link中的MPFR手册——注意既不是e_max也不是e_min 等于 double 的预期值。这里，p设置为53，和double类型一样，但是e_max设置为1024，而不是正确的值1023，而e_min设置为-1073；远低于 -1022 的正确值。我知道在 MPFR 的中间计算中将指数边界设置得太紧会导致 overflow/underflow，但我发现设置 e_min 对于确保正确的次正规来说是至关重要的数字；太高或太低导致低于正常的 MPFR 结果（更新为 mprf_subnormalize()）与相应的 double 结果不同。
我的问题是应该如何决定将哪些值传递给 mpfr_set_emax() 和（尤其是）mpfr_set_emin()，以便 gua运行tee 纠正浮点数的次正规行为具有指数范围 e_max 和 e_min 的格式？似乎没有关于此事的任何详细文档或讨论。
非常感谢，
詹姆斯.
编辑 2016 年 7 月 30 日：这是一个小程序，演示了 e_max 和 e_min[= 的选择52=] 用于单精度数字。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <float.h>
#include <mpfr.h>
using namespace std;
int main (int argc, char *argv[]) {
cout.precision(120);
// IEEE-754 float emin and emax values don't work at all
//mpfr_set_emin (-126);
//mpfr_set_emax (127);
// Not quite
//mpfr_set_emin (-147);
//mpfr_set_emax (128);
// Not quite
//mpfr_set_emin (-149);
//mpfr_set_emax (128);
// These float emin and emax values work in subnormal range
mpfr_set_emin (-148);
mpfr_set_emax (128);
cout << "emin: " << mpfr_get_emin() << " emax: " << mpfr_get_emax() << endl;
float f = FLT_MIN;
for (int i = 0; i < 3; i++) f = nextafterf(f, INFINITY);
mpfr_t m;
mpfr_init2 (m, 24);
mpfr_set_flt (m, f, MPFR_RNDN);
for (int i = 0; i < 6; i++) {
f = nextafterf(f, 0);
mpfr_nextbelow(m);
cout << i << ": float: " << f << endl;
//cout << i << ": mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
mpfr_subnormalize (m, 1, MPFR_RNDN);
cout << i << ": mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
}
mpfr_clear (m);
return 0;
}
我正在复制我在 ResearchGate 上给出的答案（带有 link 到 mpfr_subnormalize 文档）：
表示有效数字和相关指数有不同的约定。 IEEE 754 选择考虑 1 和 2 之间的有效数，而 MPFR（与 C 语言一样，例如参见 [=11=]）选择考虑 1/2 和 1 之间的有效数（出于与多精度相关的实际原因）。例如，数字 17 在 IEEE 754 中表示为 1.0001·24，在 MPFR 中表示为 0.10001·25。如您所见，这意味着与 IEEE 754 相比，MPFR 中的指数增加了 1，因此 emax = 1024 而不是双精度的 1023。
关于双精度emin的选择，需要能够表示2−1074 = 0.1·2−1073，所以emin最多需要-1073（在MPFR中，所有数字都归一化）。
如文档所述，mpfr_subnormalize 函数认为次正规指数范围是从 emin 到 emin + PREC (x) − 1，例如，您需要设置 emin = −1073 来模拟 IEEE 双精度。