偏序集中的积和副积

Question

在阅读 Bartosz 的优秀 Category theory for Programmers 时，我卡在了第二个练习中，该练习涉及 posets 中的产品。给定一个偏序集，

    b   e
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g

如何在分类意义上定义产品？根据两个对象的乘积分类什么？那么副产品呢？

Answer 1

我们先来看看产品的定义：

A product of objects a and b is the object c equipped with morphisms p :: c -> a and q :: c -> b exist, such that for any other object c' (with morphisms p' :: c' -> a and q' :: c' -> b), there exists a morphism m :: c' -> c such that p' = p . m and q' = q . m.

请记住，偏序集中的态射基本上描述了关系 "less than or equal to"。

现在两个对象 a 和 b 之间的乘积 c 必须是小于或等于 a 和 b 的对象。例如，让我们从图表中选择 a 作为 e 和 b 作为 g：

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

通常，第一个想到总是小于或等于任何其他对象的对象是最小的对象，在本例中为 a。

现在 a 是 e 和 g 乘积的有效候选者吗？让我们检查产品的定义：

是否存在从a到e的态射？是的，这个存在，可以写成pₐ = ce . ac（读作："first the arrow from a to c, then the arrow from c to e"）。

从a到g有没有一个morhism？是的，这个也存在，可以写成qₐ = cg . ac.

到目前为止一切顺利，剩下的唯一问题是这是否是 'best' 候选对象，因为没有其他对象存在，我们可以在 a 和另一个对象之间构建唯一的同构候选人？

查看图表，我们可以看到对象 c 也满足要求的条件，p = ce 和 q = cg。

剩下要做的就是根据上述定义对这两个对象进行排序。我们看到存在从 a 到 c 的态射。这意味着 c 必须是最佳候选者，因为我们现在可以定义态射 m = ac 使得 pₐ = p . m = ce . ac 和 qₐ = q . m = cg . ac.

因此，偏序集中两个对象的乘积实际上是最大的对象，两者都小于两者（也称为最大下界）。值得注意的是，在总排序中，这对应于函数 min(a, b)，因为每个对象都必须与任何其他对象相关（Wolfram 称之为 trichotomy law）。

类似于乘积定义，余积对应于大于或等于a和b的最小对象。在总排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己解决这个问题。

偏序集中的积和副积

Products and coproducts in posets

product

category-theory

poset