条件未知的条件重写规则

Question

在我的理论中，我有一些更大的定义，我使用引理从中推导出一些简单的属性。

我的问题是，用于导出属性的引理没有被简化器使用，我必须手动实例化它们。有没有办法让它更自动化？

下面显示了一个最小示例：

definition complexFact :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ bool" where
"complexFact x y z ≡ x = y + z"

lemma useComplexFact: "complexFact x y z ⟹ x = y + z"
by (simp add: complexFact_def)

lemma example_1:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a = b + c"
apply (simp add: cf useComplexFact) (* easy, works *)
done

lemma example_2a:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (simp add: cf useComplexFact) (* does not work *)
oops

lemma example_2b:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (simp add: useComplexFact[OF cf]) (* works *)
done

lemma example_2c:
assumes cf: "complexFact a b c"
shows "a - b = c"
apply (subst useComplexFact) (* manually it also works*)
apply (subst cf)
apply simp+
done

我在参考手册中找到了以下段落，所以我想我可以使用自定义求解器来解决我的问题。然而，我从来没有真正接触过 Isabelle 的内部 ML 部分，也不知道从哪里开始。

Rewriting does not instantiate unknowns. For example, rewriting alone can- not prove a ∈ ?A since this requires instantiating ?A . The solver, however, is an arbitrary tactic and may instantiate unknowns as it pleases. This is the only way the Simplifier can handle a conditional rewrite rule whose condition contains extra variables.

Answer 1

Isabelle 简化器本身从不实例化条件重写规则假设中的未知数。但是，求解器可以做到这一点，最可靠的是assumption。因此，如果 complex_fact a b c 确实出现在目标假设中（而不是通过 simp add: 或 [simp] 添加到简单集），假设求解器将启动并实例化未知数。但是，它只会在假设中使用 complex_fact 的第一个实例。所以如果有几个，它不会尝试所有的。综上，还是写

比较好

lemma
  assumes cf: "complexFact a b c"
  shows "a = b + c"
  using cf
  apply(simp add: useComplexFact)

你的例子的第二个问题是 a = b + c 与 a、b 和 c 是自由的不是一个好的重写规则，因为头部符号左边不是常量，而是自由变量a。因此，简化器不会使用等式 a = b + c 将 a 替换为 b + c，而是将等式 a = b + c 的字面值替换为 True。您可以在 simplifer 的跟踪中看到此预处理（使用 using [[simp_trace]] 在本地启用它）。这就是 example_1 有效而其他无效的原因。如果你可以改变你的左手边，使得有一个常量作为头部符号，那么一些像样的证明自动化应该是可能的，而无需编写自定义求解器。

此外，您可以通过使用 useComplexFact 作为销毁规则来进行一些（有限的）形式的正向推理。也就是说，

using assms
apply(auto dest!: useComplexFact)

在某些情况下也可以。但是，这非常接近于在可扩展性方面展开定义。

条件未知的条件重写规则

Conditional rewrite rules with unknowns in condition

rewriting

isabelle