多项式归约：多项式的其他多项式？

Question

考虑下面的每个函数，例如 f、f2、f3 和 f4 以及基础 I。我们如何表达每个 f 使得 f_i=\sum a_i I_i 和每个 a_i\geq 0?

例子

We demonstrate the polynomials below with M2 and Mathematica.

Macaulay2:
i1 : R=RR[x1,x2,x3,MonomialOrder=>Lex]; 
f=x3-x1*x2;
f2=x3*x2-x1;
f3=x1-0.2;
f4=x1-x3+0.8;

i5 : I=ideal(x1-0.2,-x1+0.5,x2,-x2+1,x3-1,-x3+1); G=gb(I);
We can express f3 with elements of I, namely with zeroth term
i11 : I_0==f3

o11 = true
We can express f4 with I_5 and I_0
i17 : I_5+I_0==f4

o17 = true
Can we express f and f2 with I?

Mathematica: f and f-2 cannot be expressed in terms of the I but f-1 can be expressed in I but negative terms so cannot use Handelman's theorem on it.

but

f-2 is not non-negative (choose x3=1,x1=2 so 1-0-2=-1<0)

f is non-negative (x3=1 so 1-x1x2>0) and

f-1 is not non-negative (x3=1,x2>0 so -x1x2<0).

and by Handelman's theorem, all computations are inconclusive because the the third term -x1 is negative. More about Mathematica aspects here.

我们如何根据其他多项式来表达一个多项式，并且每个商项都是正的，就像 Mathematica 中的 PolynomialReduce 但每个商项都是正的？

Answer 1

请注意，在这个答案中，我使用的是您的术语，其中 R 是多项式环，RR 是实数环。我还应该说几乎从不使用环 RR，因为在 macaulay2 中对实数的计算并不总是可靠的，总是使用有理数环 QQ 或像 QQ/(101) 这样的正特征场。

您的 f 和 f2 多项式不是线性的，因此您甚至不能将它们写成 I_0,...,I_5 的线性组合（即 I 的生成元） . 此外，您定义的理想 I 包含一个标量，因此数学家称之为单位理想。意思是I=R，也就是整个多项式环。所以你可以把 f 和 f2 写成 I_0,...,I_5 的组合，而不是线性的。这意味着 f = \sum g_i I_i 和 g_i 多项式，其中至少有一个不是数字。

备注。对于任意环 R，元素通常称为标量，但是当 R 是多项式环时，假设 R=RR[x_1,...x_n] 那么通常是常数多项式（恰好是实数，即 RR 的元素）被称为标量。这只是一个常见且当然令人困惑的术语。

这是一个例子，

i2 : R=QQ[x_1,x_2]

o2 = R

o2 : PolynomialRing

i3 : I=ideal(x_1-1,x_2,x_1+1)

o3 = ideal (x  - 1, x , x  + 1)
             1       2   1

o3 : Ideal of R

i4 : I == R

o4 = true

i5 : J = ideal(x_1,x_2)

o5 = ideal (x , x )
             1   2

o5 : Ideal of R

i6 : J == R

o6 = false

你看到理想的 I 有 x_1-1,x_2,x_1+1 所以元素 (x_1+1)-(x_1-1) = 2 也属于 I，所以 I 有一个常数多项式是单位元素（环中的单位元素是具有逆元素的元素），这意味着 I=R。要证明这一事实，请访问 https://math.stackexchange.com/questions/552173/if-an-ideal-contains-the-unit-then-it-is-the-whole-ring

另一方面 J 没有任何常数多项式，所以 J 不是整个环 R.

多项式归约：多项式的其他多项式？

Polynomial reduction: polynomial in terms of other polynomials?

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