高效计算两个字符串之间的编辑距离

Question

我有一个长度为1000的字符串S和一个长度为100的查询字符串Q。我想计算查询字符串Q与长度为100的字符串S的每个子字符串的编辑距离。一种天真的方法独立地计算每个子字符串的动态编辑距离，即 edDist(q,s[0:100]), edDist(q,s[1:101]), edDist(q,s[2:102])....... edDist(q,s[900:1000]) 。

def edDist(x, y):
""" Calculate edit distance between sequences x and y using
    matrix dynamic programming.  Return distance. """
D = zeros((len(x)+1, len(y)+1), dtype=int)
D[0, 1:] = range(1, len(y)+1)
D[1:, 0] = range(1, len(x)+1)
for i in range(1, len(x)+1):
    for j in range(1, len(y)+1):
        delt = 1 if x[i-1] != y[j-1] else 0
        D[i, j] = min(D[i-1, j-1]+delt, D[i-1, j]+1, D[i, j-1]+1)
return D[len(x), len(y)]

有人可以建议一种替代方法来有效地计算编辑距离。我对此的看法是我们知道 edDist(q,s[900:1000])。我们能否以某种方式使用这些知识来计算 edDist[(q,s[899:999])]...因为我们只有 1 个字符的差异，然后使用先前计算的编辑距离向后返回 edDist[(q,s[1:100])] ？

Answer 1

改善Space复杂性

提高编辑距离算法效率的一种方法是减少计算所需的内存量。

要使用整个矩阵，需要使用 O(n * m) 内存，其中 n 表示第一个字符串的长度，m 第二个字符串的长度。

如果您考虑一下，我们真正关心的矩阵的唯一部分是我们正在检查的最后两列 - 上一个 列和当前列。

知道了这一点，我们就可以假装我们有一个矩阵，但实际上只会创建这两列；当我们需要更新数据时覆盖数据。

这里我们只需要两个大小为 n + 1:

的数组

var column_crawler_0 = new Array(n + 1);
var column_crawler_1 = new Array(n + 1);

初始化这些伪列的值：

for (let i = 0; i < n + 1; ++i) {
  column_crawler_0[i] = i;
  column_crawler_1[i] = 0;
}

然后通过您的常规算法，但只要确保您在我们进行时使用新值更新这些数组：

for (let j = 1; j < m + 1; ++j) {
  column_crawler_1[0] = j;
  for (let i = 1; i < n + 1; ++i) {
    // Perform normal Levenshtein calculation method, updating current column
    let cost = a[i-1] === b[j-1] ? 0 : 1;
    column_crawler_1[i] = MIN(column_crawler_1[i - 1] + 1, column_crawler_0[i] + 1, column_crawler_0[i - 1] + cost);
  }

  // Copy current column into previous before we move on
  column_crawler_1.map((e, i) => {
    column_crawler_0[i] = e;
  });
}

return column_crawler_1.pop()

如果你想进一步分析这个方法，我写了一篇small open sourced library using this specific technique，有兴趣的可以看看。

提高时间复杂度

没有非平凡的方法可以改进 Levenshtein 距离算法，使其比 O(n^2) 执行得更快。有一些复杂的方法，一个使用 VP-Tree data structures. There are a few good sources if you're curious to read about them here and here，这些方法可以达到 O(nlgn).

的渐近速度

高效计算两个字符串之间的编辑距离

Efficiently calculate edit distance between two strings

algorithm

edit-distance

改善Space复杂性

提高时间复杂度