在 3D 中将 3 个多边形放在一起

Question

给定 3 个多边形，它们都被定义为平面（从侧面看，它们没有与其余部分不一致的点，因此它们本质上是 3D 中的 2D 形状 space），恰好由 4点，凸面和附加信息，每个多边形在恰好两个点处附加到另外两个...

从拥有这些多边形"laying flat"开始，即：它们的值都位于 x,y 平面上并且 Z 值都为 0...

...我如何找出如何在 3D 中定位这些多边形 space 以便它们在连接点处连接？

Answer 1

标记多边形 A、B、C。Select A 使得 B 和 C 在折叠之前已经各自共享一条边，并认为它在整个变换过程中保留在 X-Y 平面中。

在折叠之前，要么恰好有一个点连接了所有三个多边形，要么没有（在这种情况下，折叠后生成的形状包含一个穿过它的孔）。

在前一种情况下，考虑第 (d) 点。折叠后，连接到它的边之一将由 B 和 C 共享。设 e 为 B 上与 d 共享边但不接触 A 的点。类似地 f 用于 C。折叠后，e 和 f 是同一点。考虑通过围绕 A 和 B 共享的边旋转 e 来描述的圆，类似地对于 f 围绕 A 和 C 共享的边旋转。圆恰好相交于两点（一个在 X-Y 平面上方，一个在 X-Y 平面下方）。写出圆方程，求解，任意select两解之一。现在，B 和 C 围绕它们与 A 共享的边旋转的角度，网格的其余部分完全受约束。

在后一种情况下，找到 A 的一条边，使一端连接到 B，另一端连接到 C。和以前一样，考虑 B 和 C 上与这些点共享边但不与 A 共享边的点，旋转关于 A 的边缘并求解交点。

画个图；有帮助。

Answer 2

我假设您希望所有的多边形在一个点上相交。下面是如何解决三角形的问题（它可以很容易地适用于四边形）。

假设在 2D 世界中，您的三角形已经排列成相应的两对边彼此相邻，并且三角形的公共点是原点。换句话说，设 O 为原点，我们有 A、B、C、D 点，因此我们的三个三角形是 AOB、BOC 和 COD。（您总是可以应用一些转换来解决这种情况。）现在的任务是通过 "folding up" 三角形将 OA 与 OD（假设它们具有相同的长度）对齐。*这是您将在伪代码中执行的操作:

assert(length(OA) == length(OD))
let L_A = line through A perpendicular to OB
let L_D = line through D perpendicular to OC
let E = intersection of L_A and L_D
let z = sqrt(length(OA) * length(OA) - length(OE) * length(OE))

let O' = (0, 0, 0), B' = (B.x, B.y, 0), C' = (C.x, C.y, 0)
let A' = (E.x, E.y, z)

那么，A'O'B'对应AOB，B'O'C'对应BmOC，C'O'A'对应COD.

*注意：只有当角度 AOB、BOC 和 COD 之和小于 360 时才有可能。

在 3D 中将 3 个多边形放在一起

Position 3 polygons together in 3D

3d

geometry

convex-polygon