什么样的算法？（背包，垃圾桶！？）

Question

问题如下：

You have n trip lengths in km which should be divided among m number of days such that the maximum sum of lengths per day is minimized. E.g. The Trip lengths [1,5,2,6,8,3,2] divided among 3 days result in [1,5,2] [6] [8,3,2] because the maximum of the day length sums is the lowest we can achieve.

有没有一种算法描述了这种问题的处理？我遇到了垃圾箱打包和背包问题，但其中 none 个涵盖了我的问题。可以想象可能是对bin packing稍作修改，但不敢下定论。

Answer 1

可以使用动态规划方法来解决，其中状态定义为 DP[i][j]，其中 i 指一天的结束索引，j 保留一天的计数天到目前为止。您可以移动到下一个状态并获取与当前移动对应的一天的最大总和，然后将其与总体最小值进行比较。

我已经用 C++ 编写了一个递归动态编程解决方案，可能有点难以理解状态转换是如何工作的，您可能需要查看带有记忆的动态编程才能理解它。

#include <iostream>
#define INF 1000000000
using namespace std;

int n, m, dist[100] = {1,5,2,6,8,3,2}, dp[1000][1000];

int solve(int index, int count){
    if(index == n){
        if(count == m) return 0;
        else return INF;
    }
    if(dp[index][count] != -1) return dp[index][count];
    int sum = 0, ans = INF;
    for(int i = index;i < n;i++){
        sum += dist[i];
        int val = max(sum, solve(i+1, count+1));
        ans = min(ans, val);
    }
    return dp[index][count] = ans;
}

int main() {
    // your code goes here
    n = 7, m = 3;
    for(int i = 0;i < 1000;i++) for(int j = 0;j < 1000;j++) dp[i][j] = -1;
    cout << solve(0, 0) << endl;
    return 0;
}

Link 解决方案 Ideone : https://ideone.com/glHsgF

Answer 2

既不是Knapsack也不是Bin Packing。它的俗称是k分区问题。
如评论中所述，这可以通过使用动态编程来完成。

DP[N,M] - minimum cost of partitioning the array = {a1, ... , aN} into M partitions.
          Where cost is defined as the maximum sum of each partition.
DP[1,m] = a1
DP[n,1] = Sum of all elements in the array {a1, ... , an}
DP[n,m] = min over k from 1 to n ( max(DP[n-k,m-1],sum of elements n-k to n))

Answer 3

这个问题可以用二分查找来解决

假设最大长度是 X ，我们可以很容易地检查我们是否可以将行程分成 m 天，每天的最大长度不大于 X 通过以下贪婪：

boolean isValid(int X){
   int currentLength = 0;
   int numberOfDays = 1;
   for(int i = 0; i < n; i++)
      if (trip[i] > X)
         return false;
      if(currentLength + trip[i] <= X){
         currentLength += trip[i];  
      }else{
         currentLength = trip[i];
         numberOfDays++;
      }
   }
   return numberOfDays <= m;
}

然后，我们可以通过以下二进制搜索轻松找到 X 的最小值：

int start = 0;
int end = sum of all trips;
int result = end;
while(start <=end){
    int mid = (start + end)/2;
    if(isValid(mid)){
       result = mid;
       end = mid - 1;
    }else{
       start = mid + 1;
    }
}

时间复杂度为 O(n log z) 其中 z 是所有行程的总和。

什么样的算法？（背包，垃圾桶！？）

What kind of algorithm? (Knapsack, Bin Packing!?)

algorithm

knapsack-problem

bin-packing

什么样的算法？ （背包，垃圾桶！？）

What kind of algorithm? (Knapsack, Bin Packing!?)

algorithm

knapsack-problem

bin-packing

什么样的算法？（背包，垃圾桶！？）