表示代数整数的环

Question

我正在尝试代表戒指；

其中 theta 是具有 d 次整数系数的一元不可约多项式 f 的根。

这个环是代数整数的子环，它本身是域的子环；

我可以用sympy的AlgebraicFieldclass

来表示这个字段

Q_theta = sympy.polys.domains.AlgebraicField(QQ,theta)

有没有办法用类似的方式表示上面的整数子环？

Answer 1

这里是物理学家：我听懂了其中的一些话，但也许我还是能帮上忙:-D

你试过了吗SymPyIntegerRing？

class sympy.polys.domains.SymPyIntegerRing

    Integer ring based on SymPy’s Integer type.

Answer 2

我怀疑这可能不是 sympy 的功能，原因如下：

首先，如果 theta 不是整数上的代数，则将 theta 与整数上的多项式环相连，是同构的。

例如，pi 不是整数的代数，因为没有整数系数与 pi 和 pi 的幂相结合会等于零。

要证明这些实际上是同构的，只需取对 pi 处的每个多项式求值的求值环同态。

这可能不是一个现成的功能，因为计算一个数字在任何环上是否是非代数的是非常重要的。例如，确定 e + pi 是否是代数仍然是一个悬而未决的问题。

这可以在 sympy 中通过

实现

from sympy.polys.domains import ZZ, QQ, RR, FF, EX

x, y, z, t = symbols('x y z t')
ZZ['theta']

或

ZZ[t]

One can easily test 事实上，这确实为您提供了整数上的多项式环。

二,代数的数,(像虚数i这样的数是整数的根值多项式）可以通过取多项式环模和它的唯一一元多项式产生的想法来获得。

所以如果 theta 是虚数 i，它具有唯一的一元多项式 x^2+1

>>> QQ.old_poly_ring(x).ideal(x**2+1)
<x**2 + 1>
>>> ZZ.old_poly_ring(x).ideal(x**2+1)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py",               line 91, in ideal
   return ModuleImplementedIdeal(self, self.free_module(1).submodule(
   File "/usr/local/lib/python2.7/dist-            packages/sympy/polys/domains/old_polynomialring.py", line 192, in free_module
    return FreeModulePolyRing(self, rank)
    File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/agca/modules.py", line 455, in __init__
     + 'got %s' % ring.dom)
NotImplementedError: Ground domain must be a field, got ZZ

此外，试试这个：

>>> QQ.old_poly_ring(x).quotient_ring([x**2])
QQ[x]/<x**2>
>>> ZZ.old_poly_ring(x).quotient_ring([x**2])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py",     line 115, in quotient_ring
  e = self.ideal(*e)
  File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/ring.py", line 91, in ideal
  return ModuleImplementedIdeal(self, self.free_module(1).submodule(
  File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/domains/old_polynomialring.py", line 192, in free_module
  return FreeModulePolyRing(self, rank)
  File "/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/sympy/polys/agca/modules.py",     line 455, in __init__
         + 'got %s' % ring.dom)
NotImplementedError: Ground domain must be a field, got ZZ

Looking at the docs:

However, useful functionality is only implemented for polynomial rings over fields, and various localizations and quotients thereof.

简而言之，除非 theta 在整数上是非代数的，否则这在 sympy 的框架内可能是不可能的。

但是，可以通过制作类并使用 Python 的魔术方法覆盖的常规行为来实现以这种方式表示环=20=]和*，本质上就是我们研究环所需要的。

这里是上面提到的Gaussian Integers的例子。这段代码可以很容易地重新用于给你，比方说，2 的平方根，或任何其他整数代数数。

表示代数整数的环

Representing rings of algebraic integers

python

sympy