查找由 2 个点及其切线交点定义的圆心

Question

我有笛卡尔坐标 P、P0 和 P1，如何找到 C？

注意C也是以P为顶点，P0和P1为高的三角形的重心。

此代码将在图形渲染器中每秒运行几百次，在一个已经在处理复杂物理的程序中，因此它需要快。我正在用它来计算二次曲线的控制点。如果可能的话，我想避免三角函数和计算角度，并坚持使用纯矢量数学。

纯数学答案很好，即使我在 Javascript 中对此进行编程。请记住，答案越简单越好，因为任何向量运算都需要时间。

Answer 1

方法一：
向量CP0和PP0垂直，CP1和PP1垂直，所以我们可以写出这些向量对点积的两个方程组，并找到两个未知的CX和CY（中心坐标）

CP0 = (CX - P0.X, CY - P0.Y)
CP1 = (CX - P1.X, CY - P1.Y)
PP0 = (P.X - P0.X, P.Y - P0.Y)
PP1 = (P.X - P1.X, P.Y - P1.Y)

Dot(CP0, PP0 ) = 0
Dot(CP1, PP1 ) = 0

(CX - P0.X) * (P.X - P0.X) + (CY - P0.Y) * (P.Y - P0.Y) = 0
(CX - P1.X) * (P.X - P1.X) + (CY - P1.Y) * (P.Y - P1.Y) = 0

方法二：
P0和P1之间的中点M有坐标

  M.X = (P0.X + P1.X) / 2          ///1
  M.Y = (P0.Y + P1.X) / 2          ///2
  Distance P-M is DM
  DM_Squared = (P.X-M.X)^2 + (P.Y-M.Y)^2     ///3
  L, D distances are from your notation
  L_Squared = (P.X-P0.X)^2 + (P.Y-P0.Y)^2     ///4

Theta 是角度 P0PC

 Cos(Theta) = Length(P - M) / Length(P - P0) = DM / L 
 D = Length(C - P) = L / Cos(Theta) = L * L / DM
 and finally
 C = P - L^2 * (P0 - M) / DM^2

 Coeff = L_Squared / DM_Squared           ///5
 C.X = P.X - Coeff * (P.X - M.X)         ///6
 C.Y = P.Y - Coeff * (P.Y - M.Y)         ///7

公式 1..7 可以立即使用

查找由 2 个点及其切线交点定义的圆心

Find center of circle defined by 2 points and their tangent intersection

javascript

math

vector-graphics