有没有更好的方法在 C 中找到函数的 n 阶导数？

Question

我想编写一个子程序来计算由以下形式的子程序给出的函数的 n 阶导数：

double func(double x)
{
    // a mathematical expression representing a smooth curve 
    //returns the value of the function at x      
}

我写了下面的子程序：

double nthderive(double (*f)(double),double x0,int n)
{   
   const double delta=1.0e-8;
   double x1=x0 - delta;
   double x2=x0 + delta;
   if(n==0) {
       return f(x0);
   }
   else {
       return (nthderive(f,x2,n-1)-nthderive(f,x1,n-1))/(2*delta);
   }
}

谁能推荐一个更好的求 n 阶导数的算法？

Answer 1

不考虑数值不稳定问题，这使得 Delta 的调整变得困难并且排除了对高阶导数的使用（例如 n > 3 ！），递归解决方案效率很低，因为它需要2^n 函数求值，其中 n+1 就足够了。

确实，你计算

f' = f(+1) - f(-1)
f'' = f'(+1) - f'(-1) = f(+2) - f(0) - f(0) + f(-2)
f''' = f''(+1) - f''(-1) = f(+3) - f(+1) - f(+1) + f(-1) - f(+1) + f(-1) + f(-1) - f(-3)
...

当二项式公式告诉您时

f' = f(+1) - f(-1)
f'' = f(+2) - 2f(0) + f(-2)
f''' = f(+3) - 3f(+1) + 3f(-1) - f(-3)
...

Answer 2

可以使用 Cauchy's integral lemma.

计算第 n 个导数

将路径上的积分转换为 "standard integral"（参见 Line integral）。

然后您可以整合该表达式（例如 trapezoidal rule）。

如果你想计算高阶导数，这种方法很可能是稳定的。

有没有更好的方法在 C 中找到函数的 n 阶导数？

Is there any better way to find nth derivative of a function in C?

c

numerical-methods