为什么数字（不能）以双精度 IEEE754 表示？

Question

我对IEEE754双精度感到困惑，我考虑两个问题：
1. 为什么每个数都来自区间-2⁵⁴, -2⁵⁴+2, -2⁵⁴+4 ...2⁵⁴ 是可表示的吗？

2. 为什么 2⁵⁴+2 不可表示？

你能帮帮我吗？我了解 IEEE754 的工作方式 - 但是，我对 seeing 有疑问。

Answer 1

IEEE 754 双精度数的有效数（或尾数）有 53 位。 −2⁵⁴可以精确表示为

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00 (bin)
exponent: 54
sign:     1

现在让我们暂时忘记符号位。与这个解释无关。所以假设我们有 +2⁵⁴.

有了这个指数，有效数的最低 -- 最右边 -- 位 的值为 2^{- 52} * 2⁵⁴ = 4。所以 2⁵⁴ + 4 编码为：

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01 (bin)
exponent: 54                                                             ^
                                                                lowest bit

但是中间没有任何值。所以你不能编码 2⁵⁴ + 2.

为什么这对 −2⁵⁴ + 2 不是问题？因为这与 −(2⁵⁴ − 2) 相同，表示为：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11
exponent: 53 !!
sign:     1

而指数 53 意味着您有 2^-52 * 2⁵³ = 2 的步长。下一个趋向 0 的值是:

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 10
exponent: 53
sign:     1

即 −2⁵⁴ + 4，或者实际上是 −(2⁵⁴ − 4)。你可以这样继续下去，直到达到 −2⁵³。

为什么数字（不能）以双精度 IEEE754 表示？

Why number are (not) representable in double precision IEEE754?

floating-point

ieee-754

theorem