Coq nat 匹配类型检查

Question

Theorem nzgtz : ~ 0 > 0.
Proof.
unfold not.
unfold gt.
unfold lt.
intros H.
inversion H.
Qed.

Print nzgtz.

Definition pred1 (n : nat) : n > 0 -> nat :=
  match n with
 | O => fun pf => match (nzgtz pf) with end
 | S n' => fun _ => n'
 end.

我很困惑第一个分支如何使用 O returns 类型为 (0 > 0) -> nat 的函数。问题是：match False with end 怎么是 nat？好像没有返回值？！这个表情是什么意思？

Answer 1

我不是专家。但是从函数的角度来看，pred1的return值是一个函数returningnat，而不是一个nat。对于任何输入 n，结果函数将 n > 0 的证明 pf 转换为 nat.

函数不需要（或不能）return 不存在参数的任何值。在极端情况下，当函数的域为空时，codomain 也为（或可以视为）空。

这就是为什么当 pf 在 False 中（这是一个空类型）时，函数不能 return 任何特定的 nat 值，它必须return 没有。

在句法上，如果将函数的简化版本与 nat 到 nat 中的函数进行比较：

Definition p : False -> nat :=
 fun pf => match pf with end.

Definition p1 : nat -> nat :=
 fun pf => match pf with 
   | 0 => 0
   | S p => p
end.

p 中 False 的证明 pf 与 match with 中的两个 branches/constructors 相比没有构造函数（0 个分支） =27=].

出于类似的原因，您可以使用 False 的证明来（空洞地）证明任何事情。

Answer 2

match X with end是为了排除不可能的情况。实际上，读取 pred1 函数的零分支的典型方法是 "this case is impossible".

因此，不可能的情况不需要 return 值。

p.s：请注意，我无法想象 pred1 有用的场景。

Coq nat 匹配类型检查

Coq nat type check on match

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