对于所有 k，n^k 是否为 O(2^n)？
Does for all k, n^k is O(2^n)?
对于所有 k，n^k 是 O(2^n) 是真的吗？
其实我想知道这个上限是否正确。就像我们可以说 n^2 是 O(n^3) 因为 n^2 < c * n^3 是真的，其中 c 是一个常数。那么类似地，对于 k 的所有值，我可以说 n^k < c * 2^n 吗？
为了证明任何常量 k 总有一个常量 c 使得 n^k < c * 2^n，考虑这个：(n+1)^k / n^k = ((n+1)/n)^k。随着 n 的增加，(n+1)/n 趋于 1，因此 ((n+1)/n)^k 趋于 1。这意味着值之间的相对增加随着 n 的增加而减少。
现在考虑 2^(n+1) / 2^n。这分明是2。因此，相对增加与 n 增加相同。因此，每个 k 都会有一个 c，这样 n^k < c * 2^n
对于所有 k，n^k 是 O(2^n) 是真的吗？
其实我想知道这个上限是否正确。就像我们可以说 n^2 是 O(n^3) 因为 n^2 < c * n^3 是真的，其中 c 是一个常数。那么类似地，对于 k 的所有值，我可以说 n^k < c * 2^n 吗？
为了证明任何常量 k 总有一个常量 c 使得 n^k < c * 2^n，考虑这个：(n+1)^k / n^k = ((n+1)/n)^k。随着 n 的增加，(n+1)/n 趋于 1，因此 ((n+1)/n)^k 趋于 1。这意味着值之间的相对增加随着 n 的增加而减少。
现在考虑 2^(n+1) / 2^n。这分明是2。因此，相对增加与 n 增加相同。因此，每个 k 都会有一个 c，这样 n^k < c * 2^n