我的交集检查算法有什么问题？

Question

我知道有很多网站都解释了如何检查两条线的交点，但我发现为这样一个简单的数学任务复制和粘贴代码是非常无聊的。我越让我沮丧的是我无法让我的代码工作。我知道 "What is wrong in my code?" 的问题很愚蠢，但我不知道我的数学/代码到底出了什么问题，而且我的代码记录得很好（除了公认的错误变量命名），所以我想应该有对其背后的数学感兴趣的人：

bool segment::checkforIntersection(QPointF a, QPointF b) { //line 1: a+bx, line 2: c+dx, note that a and c are called offset and bx and dx are called gradients in this code
QPointF bx = b-a;
double firstGradient = bx.y() / bx.x(); //gradient of line 1
//now we have to calculate the offset of line 1: we have b from a+bx. Since QPointF a is on that line, it is:
//a + b * a.x = a.y with a as free variable, which yields a = a.y - b*a.x.
//One could also use the second point b for this calculation.
double firstOffset = a.y() - firstGradient * a.x();
double secondGradient, secondOffset;
for (int i = 0; i < poscount-3; i++) { //we dont check with the last line, because that could be the same line, as the one that emited intersection checking
    QPointF c = pos[i];
    QPointF d = pos[i+1];
    QPointF dx = d-c;
    secondGradient = dx.y() / dx.x(); //same formula as above
    secondOffset = c.y() - secondGradient * c.x();
    //a+bx=c+dx <=> a-c = (d-b)x <=> (a-c)/(d-b) = x
    double x = (firstOffset - secondOffset) / (secondGradient - firstGradient);
    //we have to check, if those lines intersect with a x \in [a.x,b.x] and x \in [c.x,d.x]. If this is the case, we have a collision
    if (x >= a.x() && x <= b.x() && x >= c.x() && x <= d.x()) {
        return true;
    }
}
return false;
}

那么这是做什么的，它有 4 个点 a、b、c、d（第 1 行：a--b，第 2 行：c--d）（忽略 for 循环），它们具有绝对 x 和值。首先，它通过计算 deltay/deltax 来计算线条的梯度。然后它通过使用点 a（或分别为 c）在线上这一事实来计算偏移量。通过这种方式，我们将这 4 个点转换为这些直线的数学表示形式，如等式 a+bx，其中 x 为 0 表示我们在第一个点 (a / c)，x 为 1 表示我们在第二个点 (b/d).接下来我们计算这两条线的交点（基础代数）。之后我们检查交集的 x 值是否有效。据我了解，这一切都是正确的。有人看到错误了吗？

根据经验检查这是不正确的。该代码没有给出任何误报（说有交集，但实际上没有），但它给出了假否定（说没有交集，但实际上有）。所以说有交集是正确的，但是如果说没有交集，你就不能一直相信我的算法。

再次，我在网上查了一下，但是算法不同（有一些方向技巧和其他东西），我只是想提出我自己的算法，如果有人能提供帮助，我会很高兴。 :)

编辑：这是一个最小的可重现的不工作示例，这次没有 Qt，但只有 C++：

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;
class Point {
private:
    double xval, yval;
public:
    // Constructor uses default arguments to allow calling with zero, one,
    // or two values.
    Point(double x = 0.0, double y = 0.0) {
        xval = x;
        yval = y;
    }

    // Extractors.
    double x() { return xval; }
    double y() { return yval; }

    Point sub(Point b)
    {
        return Point(xval - b.xval, yval - b.yval);
    }
};

bool checkforIntersection(Point a, Point b, Point c, Point d) { //line 1: a+bx, line 2: c+dx, note that a and c are called offset and bx and dx are called gradients in this code
    Point bx = b.sub(a);
    double firstGradient = bx.y() / bx.x(); //gradient of line 1
    //now we have to calculate the offset of line 1: we have b from a+bx. Since Point a is on that line, it is:
    //a + b * a.x = a.y with a as free variable, which yields a = a.y - b*a.x.
    //One could also use the second point b for this calculation.
    double firstOffset = a.y() - firstGradient * a.x();
    double secondGradient, secondOffset;
    Point dx = d.sub(c);
    secondGradient = dx.y() / dx.x(); //same formula as above
    secondOffset = c.y() - secondGradient * c.x();
    //a+bx=c+dx <=> a-c = (d-b)x <=> (a-c)/(d-b) = x
    double x = (firstOffset - secondOffset) / (secondGradient - firstGradient);
    //we have to check, if those lines intersect with a x \in [a.x,b.x] and x \in [c.x,d.x]. If this is the case, we have a collision
    if (x >= a.x() && x <= b.x() && x >= c.x() && x <= d.x()) {
        return true;
    }
    return false;
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    if (checkforIntersection(Point(310.374,835.171),Point(290.434,802.354), Point(333.847,807.232), Point(301.03,827.172)) == true) {
        cout << "These lines do intersect so I should be printed out\n";
    } else {
        cout << "The algorithm does not work, so instead I do get printed out\n";
    }
    return 0;
}

因此，作为示例，我采用了点 ~ (310,835) -- (290,802) 和 (333,807) -- (301,827)。这些线相交：

\documentclass[crop,tikz]{standalone}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=.1cm,y=.1cm]
\draw (310,835) -- (290,802);
\draw (333,807) -- (301,827);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Proof of intersection 然而，当运行上面的 C++ 代码时，它说它们不相交

Answer 1

First it calculates the gradient of the lines by calculating deltay/deltax.

当 deltax 非常接近于零时会发生什么？

看，你正在做的是让自己暴露在病态的情况下 - 在计算几何方面总是害怕分裂和与 0.0 的直接比较。

备选方案：

两条线不平行就会相交
如果两条 distinct 条线的定义向量的叉积为零，则它们将平行。

您的 (a,b) x (c,d) = (ax-bx)*(cy-dy)-(ay-by)*(cx-dx) 的叉积 - 如果这足够接近于零，则出于所有实际目的，您的线之间没有交点（交点太远并不重要）。

现在，剩下的就是：

在计算叉积之前需要进行 "are those line distinct?" 测试。更重要的是，您将需要处理退化的情况（一条或两条线通过重合端减少到一个点 - 如 a==b and/or c==d）
如果您不对定义向量进行归一化，"close enough to zero" 测试将不明确 - 想象一个 1 光秒长度的向量定义第一行，另一个 1 秒差距向量（什么测试 'proximity to zero' 你应该在这种情况下使用吗？）
要对两个向量进行归一化，只需应用除法... ^{（你说除法？我已经害怕得发抖了）} ...嗯..我说的是将得到的叉积除以hypot(ax-bx, ay-by)*hypot(cx-dx,cy-dy)（你明白为什么退化案例需要提前处理了吗？）
归一化后，再一次，什么是对结果叉积的良好 'proximity to zero' 测试？好吧，我想我可以再进行一个小时左右的分析（例如，与 {a,b,c,d} 多边形的范围相比，交叉点有多远），但是...因为交叉-两个酉向量的乘积（归一化后）是 sin(angle-between-versors)，你可以用你的常识说'如果角度小于 1 度，这是否足以认为两条线平行？不？ 1 角秒怎么样？

Answer 2

（你可以说我是书呆子，但术语很重要）

如果你想看看直线段是否相交，那么依靠你的两个段的参数表示，在两个参数中求解系统，看看是否两个两个参数的解都在 [0,1] 范围内。

分段 [a、b]、组件方面的参数表示

{x, y}(t) = {(1-t)*ax+t*bx, (1-t)*ay+t*by} with t in the [0,1] range

快速检查 - 在 t=0 你得到 a，在 t=1 你得到 b，表达式在 t 中是线性的，所以你知道了。

因此，您的 (a,b) (c,d) 交集问题变为：

// for some t1 and t2, the x coordinate is the same
(1-t1)*ax+t*bx=(1-t2)*cx+t2*dx; 
(1-t1)*ay+t*by=(1-t2)*cy+t2*dy; // and so is the y coordinate

求解 t1 和 t2 中的系统。如果t1在[0,1]范围内，那么交集在a和b之间，t2对于c也是如此和 d.

它留作 reader 的练习，研究在以下条件下会对系统产生什么影响，以及应该为稳健的算法实施哪些检查：

片段退化 - 一个或两个片段的重合末端
具有非空白重叠的共线段。有一个重叠点的特殊情况（必要的，那个点将是末端之一）
没有重叠的共线段
平行线段

我的交集检查算法有什么问题？

What is wrong with my intersection checking algorithm?

c++

algorithm

qt

math

intersection