计算它们之间所有等距的坐标

Question

有一个通用的 m 维 space 我需要计算 它们之间的所有等距的 m+1 坐标。

假设一个 2D space 可以处理最多 3 个等距点（由 3 个等距顶点创建的等边三角形）等等。一般来说，我们可以在 m- 中表示 m 个等距顶点1 维 space.

顶点之间的距离是单位距离（1），对于简单的 2D 情况，3 个顶点之间的距离是 1。

我读到了这个 Equidistant points across a cube 但我的要求不同，只有一个（大）约束而不是两个。

每种编程语言都足够好，我需要一个建议来概括逻辑。

谢谢大家

编辑------------ 解决方案如下（n 是维度）：

static double[] simplex_coordinates2 ( int n )
{
  double a;
  double c;
  int i;
  int j;
  double s;
  double[] x;

  x = r8mat_zero_new ( n, n + 1 );

  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    x[i+i*n] = 1.0;
  }

  a = ( 1.0 - Math.sqrt ( 1.0 + ( double ) ( n ) ) ) / ( double ) ( n );

  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    x[i+n*n] = a;
  }
//
//  Now adjust coordinates so the centroid is at zero.
//
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    c = 0.0;
    for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
    {
      c = c + x[i+j*n];
    }
    c = c / ( double ) ( n + 1 );
    for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
    {
      x[i+j*n] = x[i+j*n] - c;
    }
  }
//
//  Now scale so each column has norm 1.
//
  s = 0.0;
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    s = s + x[i+0*n] * x[i+0*n];
  }
  s = Math.sqrt ( s );

  for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
  {
    for ( i = 0; i < n; i++ )
    {
      x[i+j*n] = x[i+j*n] / s;
    }
  }
  return x;
}

static double[] r8mat_zero_new ( int m, int n )
{
  double[] a;
  int i;
  int j;

  a = new double[m*n];

  for ( j = 0; j < n; j++ )
  {
    for ( i = 0; i < m; i++ )
    {
      a[i+j*m] = 0.0;
    }
  }
  return a;
}

Answer 1

你需要正则单纯形。
Wiki page 包含有关正则单纯形顶点坐标的信息。

主要技巧是基于这样一个事实，即从单纯形中心到顶点的任何一对向量之间的角度是 arrcos(-1/d)，其中 d 是 space 维度（2d、3d、4d 等)

二维案例示例：
先设顶点坐标V2 = (x1,y1) = (0,1)
(x2,y2) 和 (x3,y3) 与 V1 的点积必须是 -1/2，所以 x2 和 x3 都等于 -1/2
y2 和 y3 是 Sqrt(3)/2 和 -Sqrt(3)/2 - 从距离=1 到坐标原点

最后一步 - 归一化坐标以获得顶点之间的距离 1 - 只需将所有坐标乘以系数 C=Sqrt(d/(2*(d+1)))
（来自余弦定理 c^2+c^2+2*c*c/d=1）

对于 2d 情况 C=Sqrt(3)/3，所以单纯形顶点是

(Sqrt(3)/3, 0)
(-Sqrt(3)/6, 1/2)
(-Sqrt(3)/6, -1/2)

计算它们之间所有等距的坐标

Calculate coordinates all equidistant among them

math

multidimensional-array

machine-learning

vertex

dimensionality-reduction