Kolmogorov-Smirnov 检验给出的结果不同于 max(abs(difference(x, y)))

Question

我在 r 中使用 ks.test 函数来执行 Kolmogorov-Smirnov 检验。我发现 Kolmogorov-Smirnov 检验给出的结果不同于

max(abs(difference(x, y)))

根据Wikipedia中Kolmogorov-Smirnov检验的定义，结果应该是等价的。

有人知道为什么吗？

Answer 1

KS 统计数据不应等于 max(|x-y|)。它应用于累积分布函数 (CDF)。因此，它代表了样本和参考分布之间不同观察值的比例。

参见下面在 MATLAB (although I expect the results to be identical in R 中执行的两个示例):

    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 11];

    [~, ~, ks2s] = kstest2(x,y)

    ks2s =

        0.1000                       (1)



    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 12];

    [~, ~, ks2s] = kstest2(x,y)

    ks2s =

        0.1000                        (2)

因此，虽然(2)中x和y的最大绝对量级差较大，但KS统计量是相同的，因为不同样本的比例是相同的。

如果y有一个额外的样本，例如，结果改变：

    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];

    [h, p, ks2s] = kstest2(x,y)

    ks2s =

        0.0909

Kolmogorov-Smirnov 检验给出的结果不同于 max(abs(difference(x, y)))

Kolmogorov-Smirnov Test gives result different from max(abs(difference(x, y)))

statistics

r

kolmogorov-smirnov