Coq 中的简单恒等式

Question

我可能遗漏了一些基本的东西。

我可以证明以下"identity":

Theorem identity_simple : forall a : Prop, a -> a.

和intro. intro. assumption..

然而，我似乎无法证明：

Theorem identity : forall a : Prop, a.

我当然可以做到 intro，但这让我有：

a : Prop
_________(1/1)
a

我不知道该怎么办。
第一种形式似乎是多余的，声明对于所有 a，a 意味着 a.

Answer 1

forall a : Prop, a -> a.

读作 "given the proof of some proposition a we can construct a proof of the same proposition"。这是真的，因为我们可以 return 原始证明。

让我们用 Coq 验证一下：

Print identity_simple.
(* 
output:

identity_simple = fun (a : Prop) (H : a) => H
     : forall a : Prop, a -> a
*)

证明项 fun (a : Prop) (H : a) => H 准确表达了所描述的行为。

The first form seems redundant, to state that for all a, a implies a.

从某种意义上说，您是对的 - 很明显。您可以将其视为测试——如果您不能证明它，那么逻辑一定有问题。

---

forall a : Prop, a.

读作 "we can construct a proof of any proposition"。这是不正确的，因为例如，您无法构造 False 的证明（在空上下文中）。那将是一场灾难——我们不想使用 一切 都是可证明的逻辑。