嵌套函数组合

Question

我无法理解以下函数组合：

function plus_one(x) {
    return x + 1;
}

function trans(f) {
    return function(x) {
        return 2 * f(2 * x);
    };
}

function twice(f) {
    return function(x) {
        return f(f(x));
    }
}

当我尝试评估时 ((twice)(trans))(plus_one)(1) 这就是我得到的，假设 plus_one 是 f

f(2f(2x))=2f(2*2f(2x))=2f(4f(2x)) = 2*(4*(2 + 1)) = 24.

但是在解释器中输入它显示它是 20。

Answer 1

((twice)(trans))(plus_one) 是 trans(trans(plus_one))，并且

trans(trans(plus_one)) (1)
—> trans(λx.2 * plus_one(2*x)) (1)
—> λy.2 * ((λx.2 * plus_one(2*x))(2*y) (1)
—> 2 * (λx.2 * plus_one(2*x)) (2*1)
-> 2 * 2 * plus_one(2*2)
-> 2 * 2 * 5
-> 20

Answer 2

在不同的函数中使用不同的参数名称可能有助于避免混淆它们。 f 并不总是指 plus_one。

与

plus_one = λ x0 ⇒ x0 + 1;
trans = λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1);
twice = λ f1 ⇒ λ x2 ⇒ f1(f1(x2));

我们可以评估

twice(trans)(plus_one)(1)

作为

≡ (λ f1 ⇒ λ x2 ⇒ f1(f1(x2)))(trans)(plus_one)(1)
≡ (λ x2 ⇒ trans(trans(x2)))(plus_one)(1)
≡ trans(trans(plus_one)))(1)
≡ (λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1))(trans(plus_one)))(1)
≡ (λ x1 ⇒ 2 * trans(plus_one)(2 * x1))(1)
≡ 2 * trans(plus_one)(2 * 1)
≡ 2 * (λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1))(plus_one)(2 * 1)
≡ 2 * (λ x1 ⇒ 2 * plus_one(2 * x1))(2 * 1)
≡ 2 * 2 * plus_one(2 * (2 * 1))
≡ 2 * 2 * (λ x0 ⇒ x0 + 1)(2 * (2 * 1))
≡ 2 * 2 * ((2 * (2 * 1)) + 1)
≡ 20

Answer 3

符号就是一切。

plus_one(x) = (x + 1)
trans(f)(x) = 2 * f(2 * x)
twice(f)(x) = f(f(x))

twice(trans)(plus_one)(1)
=
trans(trans(plus_one))(1)
=
2 * (trans(plus_one))(2 * 1)
=
2 * trans(plus_one)(2)
=
2 * (2 * plus_one(2 * 2))
=
2 * (2 * (4 + 1))
=
20

另请参阅：

嵌套函数组合

Nested Function Composition

functional-programming

lambda-calculus