处理正态（高斯）分布

Question

我基本上停留在一个相当简单的问题上：

Toss N coins and discover, how many of them land heads

解决方案性能不能依赖于 N，所以我们不能只调用 Math.random() < 0.5 N 次。显然，高斯分布可以解决问题。

我用的是 Box-Muller 方法：

function gaussian_random(mean, variance) {
  var s;
  var x;
  var y;
  do {
    x = Math.random() * 2.0 - 1.0;
    y = Math.random() * 2.0 - 1.0;
    s = Math.pow(x, 2) + Math.pow(y, 2);
  } while ( (s > 1) || (s == 0) );

  var gaussian = x * Math.sqrt(-2*Math.log(s)/s);
  return mean + gaussian * Math.sqrt(variance);
}

数学表明，N 次抛硬币的均值是 N/2 并且方差是 N/4

然后，我做了测试，抛N个硬币M次，给出正面朝上的最小数、最大数和平均数

我比较了朴素方法（Math.random() 多次）和 Gaussian Box-Muller 方法的结果。

有典型的测试输出：

Toss 1000 coins, 10000 times
Straight method: 
Elapsed time: 127.330 ms
Minimum: 434
Maximum: 558
Average: 500.0306
Box-Muller method: 
Elapsed time: 2.575 ms
Minimum: 438.0112461962819
Maximum: 562.9739632480057
Average: 499.96195358695064

Toss 10 coins, 10000 times
Straight method: 
Elapsed time: 2.100 ms
Minimum: 0
Maximum: 10
Average: 5.024
Box-Muller method: 
Elapsed time: 2.270 ms
Minimum: -1.1728354576573263
Maximum: 11.169478925333504
Average: 5.010078819562535

正如我们在 N = 1000 上看到的那样，它几乎完美契合。

但是，在 N = 10 上，Box-Muller 发疯了：它允许这样的测试结果，我可以（很少，但有可能）从 10 次抛硬币中得到 11.17 次正面朝上！ :)

毫无疑问，我做错了什么。但具体是什么？

有source of test, and link to launch it

Updated x2: 看来，之前我没有把问题描述好。有通用版：

How to get sample mean of N uniform random values (either discrete or continuous) in amortized constant time. Gaussian distribution is efficient for large N, but is there a way to make it work good on small N? Or on which exactly N, solution should switch from Gaussian method to some other (for exampled straightforward).

Answer 1

Math says, that mean of N coin tosses is N/2 and variance is N/4.

数学只说如果它是一个公平的硬币。而且解决方案不不可能依赖于 N.

假设所有的投掷都是相互独立的，对于精确的行为使用二项分布而不是正态分布。二项式有两个参数：N 是抛硬币的次数，p 是正面朝上（或者反面朝上）的概率。在伪代码中...

function binomial(n, p) {
  counter = 0
  successes = 0
  while counter < n {
    if Math.random() <= p
       successes += 1
    counter += 1
  }
  return successes
}

对于大 N 有更快的算法，但这很简单并且在数学上是正确的。

Answer 2

根据中讨论的内容，我想出了这个特定的解决方案。

有经验法则n*p >= 10 and n*(1-p) >= 10，但让我们定义更严格的规则。

首先，Box-Muller 将严格限制在 [-6,6]，以确保正确的结果（640 kB 应该...，我的意思是，6 西格玛应该足够了给大家).

然后，使用 6 常数，我们声明，为了使 Box-Muller 产生有效结果，Math.sqrt(variance) * 6 不得超过 mean。在将 N/2 和 N/4 分别用作 mean 和 variance 以及归约后，我们最终得到：

Math.sqrt(N) * 6 <= N

N >= 36

虽然这个条件成立，但我们可以安全地使用封顶 Box-Muller 高斯。对于任何较小的样本量，坚持二项式解决方案。

刚刚从统计上检查了这条规则 - 在相对大量（1000 万）的测试中，最小值不再超出样本量 32 及以上的边界。

处理正态（高斯）分布

Dealing with normal (Gaussian) distribution

random

normal-distribution

coin-flipping