从 lower/upper 三角矩阵中给出一个元素

Question

我有一个矩阵的上三角部分，主对角线存储为线性数组，如何从数组的线性索引中提取矩阵元素的 (i,j) 索引？

例如线性数组：[a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10]是矩阵的存储

a0  a1  a2  a3
0   a4  a5  a6
0   0   a7  a8
0   0   0   a10

我找到了这个问题的解决方案，但没有主对角线：

index = (n*(n-1)/2) - (n-i)*((n-i)-1)/2 + j - i - 1

同样问题的解决方案，但对于具有对角线的下三角矩阵：

index = ((i + 1) * i / 2 + i).

此致，

Answer 1

我找到答案了！它是：

index = (n*(n+1)/2) - (n-i)*((n-i)+1)/2 + j - i

Answer 2

我的解法可能等同于，我没查过：

index = N * i - ((i - 1) * i) / 2 + (j - i)

这是一个完整的 Python 测试。我使用 Python 因为 Numpy 有 triu_indices，它给出了上三角索引。

import numpy as np

def mksquare(N):
    """Make a square N by N matrix containing 0 .. N*N-1"""
    return np.arange(N * N).reshape(N, N)

def mkinds(N):
    """Return all triu indexes for N by N matrix"""
    return [(i,j) for i in range(N) for j in range(N) if i <= j]

def ij2linear(i, j, N):
    """Convert (i,j) 2D index to linear triu index for N by N array"""
    return N * i - ((i - 1) * i) // 2 + (j - i)

def test(N):
    """Make sure my `mkinds` works for given N"""
    arr = mksquare(N)
    vec = arr[np.triu_indices(N)]

    inds = mkinds(N)
    expected = [arr[i, j] for (i, j) in inds]

    actual = [vec[ij2linear(i, j, N)] for (i, j) in inds]

    return np.all(np.equal(actual, expected))

"""Run `test` for a bunch of `N`s and make sure they're all right"""
print(all(map(test, range(2, 20))))
# prints True

值得写一篇博客 post 来解释如何得出这个结论，但现在就这样了。

Answer 3

三角矩阵泛化到任何维度。例如，假设 A[a,b,c,d,e] 仅当 0<=a<=b<=c<=d<=e< N 时才为非零。我们可以将 A 压缩为线性数组X 其中 A[a,b,c,d,e] = X[a+B[b]+C[c]+D[d]+E[e]]

其中B[b] = {b+1选2}，C[c] = {c+2选3}，D[d] = {d+3选4}，E[e] = {e+4 选择 5}.

这些“偏移”数组可以在不使用乘法或除法的情况下计算如下：

B[0] = C[0] = D[0] = E[0] = 0;

for(int t = 1; t < N; t++)
 {
  B[t] = B[t-1]+t;
  C[t] = C[t-1]+B[t];
  D[t] = D[t-1]+C[t];
  E[t] = E[t-1]+D[t];
 }

从 lower/upper 三角矩阵中给出一个元素

Giving an element from lower/upper triangular matrix

c++

arrays

linear-algebra

triangular