Haskell中的尾递归二项式系数函数

Question

我有一个计算Haskell中的二项式系数的函数，它看起来像这样：

binom :: Int -> Int -> Int
binom n 0 = 1
binom 0 k = 0
binom n k = binom (n-1) (k-1) * n `div` k

是否可以修改它并使其成为尾递归？

Answer 1

是的。有一个使用 an accumulator to achieve tail recursion 的标准技巧。在你的情况下，你需要其中两个（或累积一个有理数）：

binom :: Int -> Int -> Int
binom = loop 1 1
  where
    loop rn rd _ 0 = rn `div` rd
    loop _  _  0 _ = 0
    loop rn rd n k = loop (rn * n) (rd * k) (n-1) (k-1)

更新： 对于大的二项式系数，最好使用 Integer 因为 Int 很容易溢出。此外，在上面的简单实现中，分子和分母都可以比最终结果大得多。一个简单的解决方案是累积 Rational，另一种方法是在每一步都除以它们的 gcd（AFAIK Rational 在幕后进行）。

Answer 2

是的，这是可能的，如果你引入一个带有额外参数的辅助函数：

-- calculate factor*(n choose k)
binom_and_multiply factor n 0 = factor
binom_and_multiply factor 0 k = 0
binom_and_multiply factor n k = binom (n-1) (k-1) (factor * n `div` k)

binom n k = binom_and_multiply 1 n k

最后一行可以用无点样式重写：

binom = binom_and_multiply 1

编辑：上面的函数显示了这个想法，但实际上被打破了，因为 div 操作数截断并与原始版本相反，没有数学证明要除的值总是是的倍数分母。因此，该功能必须由 Petr Pudlák 的建议替换：

-- calculate (n choose k) * num `div` denom
binom_and_multiply num denom _ 0 = num `div` denom
binom_and_multiply _   _     0 _ = 0
binom_and_multiply num denom n k = binom_and_multiply num denom (num * n) (denom * k) (n-1) (k-1)

binom = binom_and_multiply 1 1

在非优化的 haskell 实现中，如果您为 n 和 [=17= 选择高值，您可能会感到失望，因为 "properly tail recursive" 变体仍然会占用大量内存]，因为你交易的是堆space非尾递归实现中的堆-space，因为haskell懒得及时计算所有产品。它会一直等到您真正需要该值（可能是打印它），然后才将两个乘积表达式的表示形式存储在堆上。为避免这种情况，您应该在第一个和第二个参数中设置 binom_and_multiply，正如他们所说的 strict，这样在执行尾递归时会急切地评估产品。例如，可以将 num 和 denom 与零进行比较，这将需要在继续之前计算 factor 的表达式：

-- calculate (n choose k) * num `div` denom binom_and_multiply 0 0 _ _ = undefined -- can't happen, div by zero -- remaining expressions go here.

确保产品不是 "evalutated to large" 的一般方法是使用 seq 函数：

-- calculate (n choose k) * num `div` denom binom_and_multiply num denom _ 0 = num `div` denom binom_and_multiply _ _ 0 _ = 0 binom_and_multiply num denom n k = new_num = num*n new_denom = denom*k in new_num `seq` new_denom `seq` binom_and_multiply new_num new_denom (n-1) (k-1)

这告诉 haskell 实现，对 binom_and_multiply 的递归调用可能只发生在 new_num 和 new_denom 被评估之后（对 WHNF，但解释 WHNF 是超出此问题的范围）。

最后一句话：这个答案所做的通常称为将右折转换为左折然后使左折严格.

Answer 3

使函数尾递归的"automatic"方法是使用continuation passing style重写它（根据定义尾递归）。可以说在 Haskell 中一个直接的方法是将原始函数转换为 monadic 形式，然后使用 Cont monad 执行结果：

import Control.Monad.Cont

-- | Original function in monadic form
binomM n 0 = return 1
binomM 0 k = return 0
binomM n k = do
  b1 <- binomM (n-1) (k-1)
  return $! b1 * n `div` k

-- | Tail recursive mode of execution
binom :: Int -> Int -> Int
binom n k = binomM n k `runCont` id

注意：通过这种方式，只需将 ContT transformer 添加到它们的单子堆栈即可将许多单子函数转换为尾递归函数。

Haskell中的尾递归二项式系数函数

Tail recursive binomial coefficient function in Haskell

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