约束线性回归/二次规划 python

Question

我有这样的数据集：

import numpy as np

a = np.array([1.2, 2.3, 4.2])
b = np.array([1, 5, 6])
c = np.array([5.4, 6.2, 1.9])

m = np.vstack([a,b,c])
y = np.array([5.3, 0.9, 5.6])

并想要拟合约束线性回归

y = b1*a + b2*b + b3*c

其中所有 b 的总和为 1 且为正：b1+b2+b3=1

此处指定了 R 中的类似问题：

https://stats.stackexchange.com/questions/21565/how-do-i-fit-a-constrained-regression-in-r-so-that-coefficients-total-1

如何在 python 中执行此操作？

Answer 1

编辑： 这两种方法非常通用，适用于中小型实例。要获得更有效的方法，请查看 chthonicdaemon 的答案（使用自定义预处理和 scipy 的 optimize.nnls）。

使用scipy

代码

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

a = np.array([1.2, 2.3, 4.2])
b = np.array([1, 5, 6])
c = np.array([5.4, 6.2, 1.9])

m = np.vstack([a,b,c])
y = np.array([5.3, 0.9, 5.6])

def loss(x):
    return np.sum(np.square((np.dot(x, m) - y)))

cons = ({'type': 'eq',
         'fun' : lambda x: np.sum(x) - 1.0})

x0 = np.zeros(m.shape[0])
res = minimize(loss, x0, method='SLSQP', constraints=cons,
               bounds=[(0, np.inf) for i in range(m.shape[0])], options={'disp': True})

print(res.x)
print(np.dot(res.x, m.T))
print(np.sum(np.square(np.dot(res.x, m) - y)))

输出

Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
        Current function value: 18.817792344
        Iterations: 5
        Function evaluations: 26
        Gradient evaluations: 5
[ 0.7760881  0.         0.2239119]
[ 1.87173571  2.11955951  4.61630834]
18.817792344

评价

很明显，模型能力/模型复杂度不足以获得良好的性能（高损失！）

使用由 cvxpy

建模的通用 QP/SOCP-optimization

优点：

cvxpy 证明问题是凸的
凸优化问题的收敛是有保证的（对于上述情况可能也是如此）
总的来说：准确性更高
总的来说：在数值不稳定性方面更稳健（求解器只能求解 SOCP；不能求解像上面的 SLSQP 方法那样的非凸模型！）

代码

import numpy as np
from cvxpy import *

a = np.array([1.2, 2.3, 4.2])
b = np.array([1, 5, 6])
c = np.array([5.4, 6.2, 1.9])

m = np.vstack([a,b,c])
y = np.array([5.3, 0.9, 5.6])

X = Variable(m.shape[0])
constraints = [X >= 0, sum_entries(X) == 1.0]

product = m.T * diag(X)
diff = sum_entries(product, axis=1) - y
problem = Problem(Minimize(norm(diff)), constraints)
problem.solve(verbose=True)

print(problem.value)
print(X.value)

输出

ECOS 2.0.4 - (C) embotech GmbH, Zurich Switzerland, 2012-15. Web: www.embotech.com/ECOS

It     pcost       dcost      gap   pres   dres    k/t    mu     step   sigma     IR    |   BT
 0  +0.000e+00  -0.000e+00  +2e+01  5e-01  1e-01  1e+00  4e+00    ---    ---    1  1  - |  -  - 
 1  +2.451e+00  +2.539e+00  +4e+00  1e-01  2e-02  2e-01  8e-01  0.8419  4e-02   2  2  2 |  0  0
 2  +4.301e+00  +4.306e+00  +2e-01  5e-03  7e-04  1e-02  4e-02  0.9619  1e-02   2  2  2 |  0  0
 3  +4.333e+00  +4.334e+00  +2e-02  4e-04  6e-05  1e-03  4e-03  0.9326  2e-02   2  1  2 |  0  0
 4  +4.338e+00  +4.338e+00  +5e-04  1e-05  2e-06  4e-05  1e-04  0.9698  1e-04   2  1  1 |  0  0
 5  +4.338e+00  +4.338e+00  +3e-05  8e-07  1e-07  3e-06  7e-06  0.9402  7e-03   2  1  1 |  0  0
 6  +4.338e+00  +4.338e+00  +7e-07  2e-08  2e-09  6e-08  2e-07  0.9796  1e-03   2  1  1 |  0  0
 7  +4.338e+00  +4.338e+00  +1e-07  3e-09  4e-10  1e-08  3e-08  0.8458  2e-02   2  1  1 |  0  0
 8  +4.338e+00  +4.338e+00  +7e-09  2e-10  2e-11  9e-10  2e-09  0.9839  5e-02   1  1  1 |  0  0

OPTIMAL (within feastol=1.7e-10, reltol=1.5e-09, abstol=6.5e-09).
Runtime: 0.000555 seconds.

4.337947939  # needs to be squared to be compared to scipy's output!
             #  as we are using l2-norm (outer sqrt) instead of sum-of-squares
             #  which is nicely converted to SOCP-form and easier to
             #  tackle by SOCP-based solvers like ECOS
             #  -> does not change the solution-vector x, only the obj-value
[[  7.76094262e-01]
 [  7.39698388e-10]
 [  2.23905737e-01]]

Answer 2

你可以通过一点数学和 scipy.optimize.nnls:

得到一个很好的解决方案

首先我们算一下：

如果

y = b1*a + b2*b + b3*c 且 b1 + b2 + b3 = 1，则 b3 = 1 - b1 - b2。

如果我们替换和简化我们最终得到

y - c = b1(a - c) + b2(b - c)

现在，我们没有任何等式约束，nnls可以直接求解：

import scipy.optimize
A = np.vstack([a - c, b - c]).T
(b1, b2), norm = scipy.optimize.nnls(A, y - c)
b3 = 1 - b1 - b2

这将恢复与使用 cvxpy 在另一个答案中获得的相同的解决方案。

b1 = 0.77608809648662802
b2 = 0.0
b3 = 0.22391190351337198
norm = 4.337947941595865

这种方法可以推广到任意数量的维度，如下所示。假设我们有一个矩阵 B，由排列在列中的原始问题中的 a、b、c 构成。任何其他尺寸都将添加到此。

现在，我们可以做到

A = B[:, :-1] - B[:, -1:]
bb, norm = scipy.optimize.nnls(A, y - B[:, -1])
bi = np.append(bb, 1 - sum(bb))

Answer 3

一条关于 : be aware that with scipy minimize, the trial-and-error nature of SLSQP may get you a solution that is slightly off unless you make some other specifications, namely the maximum iterations (maxiter) and maximum tolerance (ftol), as detailed in the scipy docs here 的评论。

默认值是：maxiter=100 和 ftol=1e-06。

这里有一个使用矩阵表示法的例子：首先摆脱约束和边界。为简单起见，还假设截距 = 0。在这种情况下，任何多元回归的系数，如第 4 页 here 所述，将（准确地）为：

def betas(y, x):
    # y and x are ndarrays--response & design matrixes
    return np.dot(np.linalg.inv(np.dot(x.T, x)), np.dot(x.T, y))

现在，鉴于最小二乘回归的目标是最小化残差平方和，采用 sascha 的损失函数（稍微重写）：

def resids(b, y, x):
    resid = y - np.dot(x, b)
    return np.dot(resid.T, resid)

给定您的实际 Y 和 X 向量，您可以将上面第一个等式的结果 "true" 贝塔代入第二个以获得更好的结果 "benchmark." 将此基准与 .fun 进行比较res 的属性（什么 scipy 最小化吐出）。即使是微小的变化也会对结果系数造成有意义的变化。

所以长话短说，使用像

这样的东西会牺牲速度但会提高准确性

options={'maxiter' : 1000, 'ftol' : 1e-07}

在 sascha 的代码中。

约束线性回归/二次规划 python

constrained linear regression / quadratic programming python

python

scipy

linear-regression

quadratic-programming

使用scipy

代码

输出

评价

使用由 cvxpy

代码

输出