Haskell 中的列表是归纳的还是共归纳的？

Question

所以我最近一直在阅读有关共归纳的内容，现在我想知道：Haskell 列表是归纳的还是共归纳的？我也听说 Haskell 不区分两者，但如果是，他们是如何正式区分的？

列表是归纳定义的，data [a] = [] | a : [a]，但可以相互归纳使用，ones = a:ones。我们可以创建无限列表。然而，我们可以创建有限列表。那么他们是谁？

相关的是在 Idris 中，其中类型 List a 严格来说是归纳类型，因此只是有限列表。它的定义类似于 Haskell 中的定义。然而，Stream a 是一个余归纳类型，模拟一个无限列表。它被定义为（或者更确切地说，定义等同于）codata Stream a = a :: (Stream a)。不可能创建无限列表或有限流。但是，当我写下定义时

codata HList : Type -> Type where
    Nil : HList a
    Cons : a -> HList a -> HList a

我从 Haskell 列表中得到了我期望的行为，即我可以制作有限和无限结构。

所以让我将它们归结为几个核心问题：

Haskell不区分归纳类型和共归纳类型吗？如果是这样，那么形式化是什么？如果不是，那么哪个是[a]?
HList 是互推的吗？如果是这样，余归类型如何包含有限值？
如果我们定义data HList' a = L (List a) | R (Stream a)呢？那会被认为是什么 and/or 它比 HList 有用吗？

Answer 1

由于懒惰，Haskell 类型既是归纳又是互归纳，或者说，data 和 codata 之间没有形式上的区别。所有递归类型都可以包含构造函数的无限嵌套。在 Idris、Coq、Agda 等语言中，像 ones = 1 : ones 这样的定义会被终止检查器拒绝。惰性意味着 ones 可以一步计算为 1 : ones，而其他语言仅计算为范式，而 ones 没有范式。
'Coinductive' 并不表示 'necessarily infinite'，它表示 'defined by how it is deconstructed'，而归纳表示 'defined by how it is constructed'。我认为 this 是对细微差别的极好解释。您肯定会同意类型

codata A : Type where MkA : A

不能无限大。
这是一个有趣的 - 与 HList 相反，如果它是有限的或无限的，你永远无法 'know'（具体来说，你可以在有限的时间内发现如果一个列表是有限的，但你不能计算它是无限的），HList' 给你一个简单的方法来决定你的列表是有限的还是无限的。

Answer 2

在像 Coq 或 Agda 这样的全能语言中，归纳类型是那些其值可以在有限时间内被拆除的类型。归纳函数必须终止。另一方面，余积类型是那些其值可以在有限时间内 建立起来 的类型。余积函数必须是有效率的。

旨在用作证明助手的系统（如 Coq 和 Agda）必须完整，因为非终止会导致系统在逻辑上不一致。但是要求所有函数都是完整的和归纳的，就不可能使用无限结构，因此发明了共归纳。

所以归纳和共归纳类型的目的是拒绝可能的非终止程序。这是 Agda 中的一个函数示例，该函数由于生产力条件而被拒绝。（您传递给 filter 的函数可能会拒绝每个元素，因此您可能会永远等待结果流的下一个元素。）

filter : {A : Set} -> (A -> Bool) -> Stream A -> Stream A
filter f xs with f (head xs)
... | true = head xs :: filter f (tail xs)
... | false = filter f (tail xs)  -- unguarded recursion

现在，Haskell 没有归纳或共归纳类型的概念。问题 "Is this type inductive or coinductive?" 不是一个有意义的问题。 Haskell怎么不区分就跑了？好吧，Haskell 一开始就没有打算作为逻辑保持一致。它是一种部分语言，这意味着您可以编写非终止和非生产性函数——没有终止检查器和生产率检查器。人们可以争论这一设计决策的智慧，但它肯定会使归纳和共归纳变得多余。

相反，Haskell 程序员习惯于 非正式地 推理程序的 termination/productivity。懒惰让我们使用无限的数据结构，但我们没有从机器那里得到任何帮助来确保我们的功能是完整的。

Answer 3

要解释类型级递归，需要找到一个 "fixed point" CPO 值列表函子

F X = (1 + A_bot * X)_bot

如果我们归纳推理，我们希望不动点是"least"。如果互归纳，"greatest".

从技术上讲，这是通过在 CPO_bot 的嵌入投影子类别中工作来完成的，例如对于 "least" 嵌入图的余数

0_bot |-> F 0_bot |-> F (F 0_bot) |-> ...

推广 Kleene 不动点定理。对于"greatest"，我们将采用投影图的极限

0_bot <-| F 0_bot <-| F (F 0_bot) <-| ...

然而，对于任何 F，"least" 与 "greatest" 同构。这就是 "bilimit" 定理（参见 Abramsky 的 "Domain Theory" 调查论文）。

也许令人惊讶的是，归纳或共归纳的味道来自 F 而不是 least/greatest 固定点应用的提升。比如x是被砸的产品，#是被砸的金额，

F X = 1_bot # (A_bot x X)

将有限列表集作为双极限（最多 iso）。

[我希望我做对了——这些很棘手;-)]

Haskell 中的列表是归纳的还是共归纳的？

Are Lists Inductive or Coinductive in Haskell?

haskell

infinite

idris

induction

coinduction