从随机生成的法向量进行坐标变换

Question

我正在尝试为我在 python 中编写的拟合例程随机生成坐标变换。我想围绕原点旋转我的数据（一堆 [x,y,z] 坐标），理想情况下使用我已经创建的一堆随机生成的法向量来定义平面 - 我只想移动我的每个平面已定义为位于 z=0 平面内。

这是我的代码片段，一旦我有了我的转换矩阵，它应该会处理一些事情。我只是不确定如何从我的法线向量中获取我的变换矩阵，以及我是否需要比 numpy 更复杂的东西。

import matplotlib as plt
import numpy as np
import math

origin = np.array([35,35,35])
normal = np.array([np.random.uniform(-1,1),np.random.uniform(-1,1),np.random.uniform(0,1)])
mag = np.sum(np.multiply(normal,normal))
normal = normal/mag

a = normal[0]
b = normal[1]
c = normal[2]

#I know this is not the right transformation matrix but I'm not sure what is...
#Looking for the steps that will take me from the normal vector to this transformation matrix
rotation = np.array([[a, 0, 0], [0, b, 0], [0, 0, c]])

#Here v would be a datapoint I'm trying to shift?
v=(test_x,test_y,test_z)
s = np.subtract(v,origin) #shift points in the plane so that the center of rotation is at the origin
so = np.multiply(rotation,s) #apply the rotation about the origin
vo = np.add(so,origin) #shift again so the origin goes back to the desired center of rotation

x_new = vo[0]
y_new = vo[1]
z_new = vo[2]

fig = plt.figure(figsize=(9,9))
plt3d = fig.gca(projection='3d')
plt3d.scatter(x_new, y_new, z_new, s=50, c='g', edgecolor='none')

Answer 1

我认为你对旋转矩阵的概念是错误的。旋转矩阵定义一定角度的旋转，不能有对角线结构。

如果您将每个旋转想象成绕 X 轴旋转的组合，然后绕 Y 轴旋转，然后绕 Z 轴旋转，您可以构建每个矩阵并将最终旋转组合为矩阵的乘积

R = Rz*Ry*Rx
Rotated_item = R*original_item

或

Rotated_item = np.multiply(R,original_item)

在此公式中，Rx 是第一个应用的旋转。
请注意

您可以通过组合许多不同的 3 组旋转来获得您的旋转
顺序不固定，可以是X-Y-Z或Z-Y-X或Z-X-Z或任意组合。角度的值可能会随着顺序的变化而变化
就是"dangerous"使用这个矩阵来旋转临界值（90-180-270-360度）

如何围绕1个轴组成每个单独的旋转矩阵？参见 this image from wikipedia。 Numpy 拥有你需要的一切。

现在您只需定义 3 个角度值。当然，您可以在问题中编写时从随机归一化向量 (a、b、c) 中导出 3 个角度值，但旋转是将一个向量转换为另一个向量的过程。也许你必须指定类似的东西 "I want to find the rotation R around the origin that transform (0,0,1) into (a,b,c)". 完全不同的旋转 R' 是将 (1,0,0) 变换为 (a,b,c) 的旋转。

Answer 2

感谢参与数学堆栈交流的人们，我得到了一个有效的答案。但请注意，如果您还需要执行平移，它就不起作用，而我没有这样做，因为我通过法向量和点定义我的平面，并且法向量发生变化但点没有。这是对我有用的。

import matplotlib as plt
import numpy as np
import math

def unit_vector(vector):
    """ Returns the unit vector of the vector.  """
    return vector / np.linalg.norm(vector)

cen_x, cen_y, cen_z = 35.112, 35.112, 35.112
origin = np.array([[cen_x,cen_y,cen_z]])

z_plane_norm = np.array([1,1,0])
z_plane_norm = unit_vector(z_plane_norm)

normal = np.array([np.random.uniform(-1,1),np.random.uniform(-1,1),np.random.uniform(0,1)])
normal = unit_vector(normal)

a1 = normal[0]
b1 = normal[1]
c1 = normal[2]

rot = np.matrix([[b1/math.sqrt(a1**2+b1**2), -1*a1/math.sqrt(a1**2+b1**2), 0], [a1*c1/math.sqrt(a1**2+b1**2), b1*c1/math.sqrt(a1**2+b1**2), -1*math.sqrt(a1**2+b1**2)], [a1, b1, c1]])

init = np.matrix(normal)

fin = rot*init.T
fin = np.array(fin)

# equation for a plane is a*x+b*y+c*z+d=0 where [a,b,c] is the normal
# so calculate d from the normal
d1 = -origin.dot(normal)

# create x,y
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(cen_x-0.5,cen_x+0.5,0.05),np.arange(cen_y-0.5,cen_y+0.5,0.05))

# calculate corresponding z
z1 = (-a1 * xx - b1 * yy - d1) * 1./c1

#-------------

a2 = fin[0][0]
b2 = fin[1][0]
c2 = fin[2][0]

d2 = -origin.dot(fin)
d2 = np.array(d2)
d2 = d2[0][0]

z2 = (-a2 * xx - b2 * yy - d2) * 1./c2

#-------------

# plot the surface
fig = plt.figure(figsize=(9,9))
plt3d = fig.gca(projection='3d')

plt3d.plot_surface(xx, yy, z1, color='r', alpha=0.5, label = "original")   
plt3d.plot_surface(xx, yy, z2, color='b', alpha=0.5, label = "rotated")  


plt3d.set_xlabel('X (Mpc)')
plt3d.set_ylabel('Y (Mpc)')
plt3d.set_zlabel('Z (Mpc)')

plt.show()

如果您确实也需要执行翻译，请参阅我从 here 中得出的完整答案。

从随机生成的法向量进行坐标变换

Coordinate transformations from a randomly generated normal vector

python

3d

coordinate-transformation

rotational-matrices