复制最小二乘回归以检查估计和预测与真实情况的一致性

Question

问题来了：在X = 4, 8, 12, 16, 20时分别对Y进行五次观察。真正的回归函数是E(y) = 20 + 4X，ei是独立的N(O, 25).

生成五个正态随机数，均值为 0，方差为 25。将这些随机数视为 X = 4,8, 12, 16, 20 处五个 Y 观测值的误差项，并计算 Y1、Y2、Y3、Y4 和 Y5。将直线拟合到五个案例时，获得最小二乘估计 bo 和 b1。当 Xh = 10 时还计算 Yh 并在 Xh = 10 时获得 E(Yh) 的 95% 置信区间。我做了第 1 部分，但我需要帮助才能重复 200 次。
重复第(1)部分200次，每次生成新的随机数。
对 200 个估计值进行频率分布 b1。计算 200 个估计值的均值和标准差 b1。结果是否符合理论预期？
当 Xh = 10 时 E(Yh) 的 200 个置信区间中包含 E(Yh) 的比例是多少？这个结果是否符合理论预期？

到目前为止，这是我的代码，我对如何将第 1 部分重复 200 次感到困惑：

X <- matrix(c(4, 8, 12, 16, 20), nrow = 5, ncol = 1)
e <- matrix(c(rnorm(5,0,sqrt(5))), nrow = 5, ncol = 1)
Y <- 20 + 4 * X + e
mydata <- data.frame(cbind(Y=Y, X=X, e=e))
names(mydata) <- c("Y","X","e")
reg<-lm(Y ~ X, data = mydata)
predict(reg, newdata = data.frame(X=10), interval="confidence")

Answer 1

您的代码有误。您想要独立的 N(O, 25) 错误，但您将 sqrt(5) 作为标准错误传递给了 rnorm()。应该是 5.

我们首先将您的代码封装到一个函数中。此函数不接受输入，但运行实验一次，returns 回归系数 b0、b1 和预测 fit、lwr、upr 在 命名的 向量中。

sim <- function () {
  x <- c(4, 8, 12, 16, 20)
  y <- 20 + 4 * x + rnorm(5,0,5)
  fit <- lm(y ~ x)
  pred <- predict(fit, data.frame(x = 10), interval = "confidence")
  pred <- setNames(c(pred), dimnames(pred)[[2]])
  ## return simulation result
  c(coef(fit), pred)
  }

例如，让我们试试

set.seed(2016)
sim()
#(Intercept)           x         fit         lwr         upr 
#  24.222348    3.442742   58.649773   47.522309   69.777236

现在我们用replicate重复这样的实验200次

set.seed(0)
z <- t(replicate(200, sim()))

head(z)
#     (Intercept)        x      fit      lwr      upr
#[1,]   24.100535 3.987755 63.97808 57.61262 70.34354
#[2,]    6.417639 5.101501 57.43265 52.44263 62.42267
#[3,]   20.652355 3.797991 58.63227 52.74861 64.51593
#[4,]   20.349829 3.816426 58.51409 52.59115 64.43702
#[5,]   19.891873 4.095140 60.84327 57.49911 64.18742
#[6,]   24.586749 3.589483 60.48158 53.64574 67.31743

将有 200 行，用于 200 次模拟的结果。第二列包含 200 次模拟下 b1 的估计值，我们计算它们的均值和标准误差：

mean(z[,2])
# [1] 3.976249

sd(z[,2])
# [1] 0.4263377

我们知道真实值为4，可见我们的估计与真实值是一致的

最后，让我们检查 X = 10 处预测的 95% 置信区间。真值是20 + 4 * 10 = 60，所以覆盖这个真值的置信区间比例是

mean(z[, "lwr"] < 60 & z[, "upr"] > 60)
## 0.95

正好0.95。

复制最小二乘回归以检查估计和预测与真实情况的一致性

Replicate least squares regression to check consistency of estimation and prediction with truth

regression

r

linear-regression

least-squares

lm