二维矩阵中大小为 HxW 的最大子数组

Question

给定一个二维正整数数组，找到大小为 HxW 且总和最大的子矩形。矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

输入： 具有正元素的二维数组 NxN 子矩形的 HxW 大小

输出： 其元素和最大的 HxW 大小的子矩阵。

我已经用暴力法解决了这个问题，但是，我现在正在寻找一个复杂度更高的更好的解决方案（我的暴力法的复杂度是 O(n⁶)).

Answer 1

首先创建矩阵的累加和：O(n²)

Matrix
2 4 5 6
2 3 1 4
2 0 2 1

Cumulative sum
2 6  11 17
4 11 17 27
6 13 21 32

cumulative_sum(i,j)是submatrix (0:i,0:j)中所有元素的和。您可以使用以下逻辑计算累积和矩阵：

cumulative_sum(i,j) = cumulative_sum(i-1,j) + cumulative_sum(i,j-1) - cumulative_sum(i-1,j-1) + matrix(i,j)

使用累积和矩阵，您可以在 O(1) 中计算每个子矩阵的总和：

calculating sum of submatrix (r1 ... r2 , c1 ... c2)
sum_sub = cumulative_sum(r2,c2) - cumulative_sum(r1-1,c2) - cumulative_sum(r2,c1-1) + cumulative_sum(r1-1,c1-1)

然后使用两个循环，您可以将 HW 矩形的左上角放在矩阵的每个点上，并计算该矩形的总和。

for r1=0->n_rows
   for c1=0->n_cols
       r2 = r1 + height - 1
       c2 = c1 + width - 1
       if valid(r1,c1,r2,c2) // doesn't exceed the original matrix
            sum_sub = ... // formula mentioned above
            best = max(sum_sub, best)
return best

这种方法在O(N²).

这里是 python 实现：

from copy import deepcopy

def findMaxSubmatrix(matrix, height, width):
    nrows = len(matrix)
    ncols = len(matrix[0])           

    cumulative_sum = deepcopy(matrix)

    for r in range(nrows):
        for c in range(ncols):
            if r == 0 and c == 0:
                cumulative_sum[r][c] = matrix[r][c]
            elif r == 0:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r][c-1] + matrix[r][c]
            elif c == 0:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + matrix[r][c]
            else:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + cumulative_sum[r][c-1] - cumulative_sum[r-1][c-1] + matrix[r][c]

    best = 0
    best_pos = None

    for r1 in range(nrows):
        for c1 in range(ncols):
            r2 = r1 + height - 1
            c2 = c1 + width - 1
            if r2 >= nrows or c2 >= ncols:
                continue
            if r1 == 0 and c1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2]
            elif r1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1]
            elif c1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2]
            else:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1] + cumulative_sum[r1-1][c1-1]
            if best < sub_sum:
                best_pos = r1,c1
                best = sub_sum

    print "maximum sum is:", best
    print "top left corner on:", best_pos


matrix = [ [2,4,5,6],
           [2,3,1,4],
           [2,0,2,1] ]
findMaxSubmatrix(matrix,2,2)

输出

maximum sum is: 16
top left corner on: (0, 2)

二维矩阵中大小为 HxW 的最大子数组

Maximum subarray of size HxW within a 2D matrix

algorithm

max

dynamic-programming

submatrix